Question

【題目】【2016天津卷】現有一質地均勻密度為ρ0的實心圓柱體，底面積為S0、高為h0，將其中間挖去底面積為的小圓柱體，使其成為空心管，如圖1所示。先用硬塑料片將空心管低端密封（硬塑料片的體積和質量不計），再將其低端向下豎直放在底面積為S的柱形平底容器底部，如圖2所示。然后沿容器內壁緩慢注入密度為ρ的液體，在注入液體的過程中空心管始終保持豎直狀態。

（1）當注入一定量的液體時，空心管對容器底的壓力剛好為零，且空心管尚有部分露在液面外，求此時容器中液體的深度。

（2）去掉塑料片后，空心管仍豎直立在容器底部，管外液體可以進入管內，繼續向容器中注入該液體。若使空心管對容器底的壓力最小，注入液體的總重量最少是多少？

Answer 1

【答案】（1）h1 =ρ0h0/2ρ；（2）ρh0（2S-S0 ）/2；

【解析】（1）空心管對容器底的壓力剛好為零，此時空心管處于漂浮狀態，浮力等于重力，設注入液體的深度為h1，浮力F浮=ρgS0 h1，空心管的重力G=mg=ρ0 gh0（S0 -S0/2），即ρgS0 h1 =ρ0 gh0（S0 -S0/2），解得液體的深度；（2）若管的密度大于液體的密度，設液體深度為h，若使空心管對容器底的壓力最小，即浮力最大，此時空心管應恰好完全浸沒，即液體的深度等于管的高度，h2 =h0，所以液體的質量m2 =ρ（S-S0/2）h0 =ρh0 （2S-S0）/2；若管的密度小于液體的密度，設液體深度為h3 ，若使空心管對容器底的壓力最小，此時空心管處于漂浮狀態，浮力等于其重力，浮力F浮 =ρgS0 h3 /2，空心管的重力G=mg=ρ0 gh0 （S0 -S0/2），即ρgS0 h3/2 =ρ0 gh0 （S0 -S0/2），解得液體的深度h3 =ρ0h0/ρ，液體的質量m3 =ρ（S-S0/2）ρ0h0/ρ=ρ0 h0（2S-S0 ）/2。