Question

如圖所示，質量為70kg的工人站在岸邊通過一滑輪組打撈一塊沉沒在水池底部的石材，該滑輪組中動滑輪質量為5kg．當工人用120N的力拉滑輪組的繩端時，石材仍沉在水底不動．工人繼續增大拉力將石材拉起，在整個提升過程中，石材始終以0.2m/s的速度勻速上升．在石材還沒有露出水面之前滑輪組的機械效率為η₁，當石材完全露出水面之后滑輪組的機械效率為η₂，且η₁：η₂=63：65．繩重及滑輪的摩擦均可忽略不計，石材的密度ρ_石=2.5×10³kg/m³，取g=10N/kg，求：
（1）當人用120N的力拉繩端時，岸邊地面對人的支持力為多大；
（2）在石材脫離水池底部至完全露出水面的過程中，地面對人的支持力的最大值與最小值之比；
（3）當石材露出水面之前，人拉繩子的功率；
（4）此人用這個滑輪組提升重物的最大機械效率．（保留整數）

Answer 1

分析：知道工人和動滑輪的質量，利用重力公式求工人和動滑輪的重力；利用η=

W有用

W總

=

(G石-F浮)h

(G石-F浮+G動) h

求未露出水面滑輪組的機械效率，利用η=

W有用

W總

=

G石h

(G石 +G動) h

求露出水面后滑輪組的機械效率，知道效率比求石材的體積；進而求出石材重．
（1）人的重力等于拉力加上地面對人的支持力，據此求地面對人的支持力；
（2）石材在水中，知道石材的體積（排開水的體積），利用阿基米德原理求石材受到水的浮力，此時人的拉力最小，地面對人的支持力最大，地面的支持力F_支1=G_人-F_拉1；
石材離開水面，此時人的拉力最大，地面對人的支持力最小，地面的支持力F_支2=G_人-F_拉2；可求地面對人的支持力的最大值與最小值之比；
（3）當石材露出水面之前，F_拉1=

1

3

（G_石+G_動-F_浮），v=3×0.2m/s，利用P=Fv求人拉繩子的功率；
（4）滑輪組受到的向下的拉力最大等于人的重力，機械效率最大，繩重及滑輪的摩擦均可忽略不計，利用F=

1

3

（G_物+G_動）求最大物重G_物，再利用η=

W有用

W總

=

Gh

Fs

求解．

解答：解：
工人的重力：
G_人=m_人g=70kg×10N/kg=700N，
動滑輪的重力：
G_動=m_動g=5kg×10N/kg=50N，
未露出水面滑輪組的機械效率：
η₁=

W有用1

W總1

=

(G石-F浮)h

(G石-F浮+G動) h

=

G石-F浮

G石-F浮+G動

，
露出水面后滑輪組的機械效率：
η₂=

W有用2

W總2

=

G石h

(G石 +G動) h

=

G石

G石 +G動

，
∵η₁：η₂=

G石-F浮

G石-F浮+G動

：

G石

G石 +G動

=63：65，
即：

ρ石Vg -ρ水Vg

ρ石Vg -ρ水Vg+ 50N

：

ρ石Vg

ρ石Vg+50N

=63：65，
將石塊的密度和水的密度代入求得：
V_石=0.04m³，
石塊的重力：
G_石=m_石g=ρ_石V_石g=2.5×10³kg/m³×10N/kg×0.04m³=1000N，
（1）地面對人的支持力：
F=G_人-F_拉=700N-120N=580N；
（2）石材在水中，受到水的浮力，此時人的拉力最小，地面對人的支持力最大，
石材受到的浮力：
F_浮=ρ_水V_排g=1×10³kg/m³×10N/kg×0.04m³=400N，
F_拉1=

1

3

（G_石+G_動-F_浮）=

1

3

（1000N+50N-400N）=

650

3

N，
地面的支持力：
F_支1=G_人-F_拉1=700N-

650

3

N=

1450

3

N；
石材離開水面，此時人的拉力最大，地面對人的支持力最小，
F_拉2=

1

3

（G_石+G_動）=

1

3

（1000N+50N）=350N，
地面的支持力：
F_支2=G_人-F_拉2=700N-350N=350N；
F_支1：F_支2=

1450

3

N：350N=29：21；
（3）當石材露出水面之前，F_拉1=

1

3

（G_石+G_動-F_浮）=

1

3

（1000N+50N-400N）=

650

3

N，
v=3×0.2m/s=0.6m/s
人拉繩子的功率：
P=F_拉1v=

650

3

N×0.6m/s=130W；
（4）重物露出水面后，滑輪組受到的向下的拉力最大，為F=G_人=700N，
∵繩重及滑輪的摩擦均可忽略不計，
∴F=

1

3

（G_物+G_動），
∴G_物=3F-G_動=3×700N-50N=2050N，
η=

W有用

W總

=

Gh

Fs

=

Gh

F3h

=

G

F3

=

2050N

3×700N

≈97.6%．
答：（1）當人用120N的力拉繩端時，岸邊地面對人的支持力為580N；
（2）在石材脫離水池底部至完全露出水面的過程中，地面對人的支持力的最大值與最小值之比為29：21；
（3）當石材露出水面之前，人拉繩子的功率為130W；
（4）此人用這個滑輪組提升重物的最大機械效率為97.6%．

點評：本題考查了重力、阿基米德原理、機械效率、功率等的計算，難點是求根據效率比求石材的重力和石材浸沒時的浮力，知識點多、綜合性強，要求靈活選用公式求解．