Question

已知：如圖，△ABC內接于⊙O，AD是⊙O的直徑，點E、F分別在AB、AC的延長線上，EF交⊙O于點M、N，交AD于點H，H是OD的中點，

MD

=

DN

，EH-HF=2．設∠ACB=a，tana=

3

4

，EH和HF是方程x²-（k+2）x+4k=0的兩個實數根．
（1）求EF和HF的長；
（2）求BC的長．

Answer 1

分析：（1）根據根與系數的關系，可以得到EH+HF=k+2②，EH•HF=4k＞0③，再結合已知EH-HF=2，可求k的值，再把k的值代入方程，解方程可求EH、HF，從而可求EH；
（2）連接BD、CD，由于AD是直徑，根據垂徑定理可知，AD⊥EF，再利用同角的余角相等，可知∠E=∠1，再利用圓周角的性質，可知∠E=∠1=∠α，從而tan∠E=

3

4

，結合EH=8，可求AH，再利用勾股定理可求AE，在Rt△AHF中，利用勾股定理可求AF，在Rt△ABD中，由于tan∠1=

3

4

，可設AB=3m，BD=4m，利用勾股定理可知AD=5m，而H是OD中點，從而AD=

4

3

AH，由于AH=6，可求AD、m的值，從而可求AB，利用∠α=∠E，再加上一個公共角，可證△ABC∽△AFE，可得比例線段，容易求出BC．

解答：解：（1）依題意，及一元二次方程根與系數關系，得
△=[-（k+2）]²-4×4k＞0，①
EH+HF=k+2，②
EH•HF=4k＞0，③
又EH-HF=2④
由②、③、④得k=12，
當k=12時，①成立．
把k=12代入原方程解得x₁=8，x₂=6，
∴EH=8，HF=6．

（2）解法一：
連接BD，
∵AD是⊙O的直徑，
∴∠ABD=90°，
∵∠1=∠a，
∵

MD

=

DN

，
∴AD⊥EF，即∠AHE=∠AHF=90°，
∴∠E=∠1=∠a，
在Rt△AEH中，tanE=

AH

EH

=tana=

3

4

，又EH=8，
∴AH=6，
由勾股定理得AE=10，
在Rt△AHF中，AH=HF=6，
由勾股定理得AF=6

2

在Rt△ABD中，tan∠1=

AB

BD

=tana=

3

4

，
設AB=3m，則BD=4m，由勾股定理得AD=5m
∵H是OD的中點，
∴AH=

3

4

AD
∴AD=

4

3

AH=

4

3

×6=8
∴5m=8，解得m=

8

5

，
∴AB=3m=

24

5

，
∵∠E=∠a，∠BAC=∠FAE，
∴△ABC∽△AFE
∴

BC

EF

=

AB

AF

∴BC=

AB(EH+HF)

AF

=

24 5 ×(8+6)

6 2

=

28

5

2

；
解法二：
同解法一求出AE=10，AD=8
連接CD，
∵AH=HF，且AH⊥HF，
∴∠HAF=∠F=45°
∵AD為⊙O直徑，
∴∠ACD=90°，∠ADC=45°
∴AC=AD•sin∠ADC=AD•sin45°=4

2

，

以下同解法一求得BC=

AC•EF

AE

=

4 2 ×14

10

=

28

5

2

．

點評：本題利用了根與系數的關系、三角函數值、圓周角的性質、勾股定理、相似三角形的判定和性質、垂徑定理等知識．