Question

【題目】如圖，點P,Q分別是邊長為4 cm的等邊三角形ABC邊AB,BC上的動點，點P從頂點A，點Q從頂點B同時出發，且它們的速度都為1 cm/s，連接AQ,CP，相交于點M.下面四個結論正確的有________(填序號).①BP=CM; ②△ABQ ≌△CAP ;③∠CMQ的度數不變，始終等于60;④當第s或s時，△PBQ為直角三角形.

Answer 1

【答案】②③④

【解析】

由三角形ABC為等邊三角形，得到三邊相等，且內角為60°，根據題意得到AP=BQ，利用SAS得到三角形ABQ與三角形CAP全等；由全等三角形對應角相等得到∠AQB=∠CPA，利用三角形內角和定理即可確定出∠CMQ的度數不變，始終等于60°；分∠QPB與∠PQB為直角兩種情況求出t的值，即可作出判斷．

BP不一定等于CM，選項①錯誤；

根據題意得：AP=BQ=t，

∵△ABC為等邊三角形，

∴

在△ABQ和△CAP中，

∴△ABQ≌△CAP(SAS)，選項②正確；

∴∠AQB=∠CPA，

在△APM中,

∵

在△ABQ中,

∴

∴

∴，選項③正確；

若,由，得到PB=2BQ，即4t=2t，

解得：t=；

若,由,得到BQ=2PB,即t=2(4t)，

解得：t=，

綜上,當第秒或第秒時，△PBQ為直角三角形，選項④正確，

故答案為：②③④