Question

【題目】如圖1，已知拋物線y＝﹣x+3與x軸交于A和B兩點，（點A在點B的左側），與y軸交于點C．

（1）求出直線BC的解析式．

（2）M為線段BC上方拋物線上一動點，過M作x軸的垂線交BC于H，過M作MQ⊥BC于Q，求出△MHQ周長最大值并求出此時M的坐標；當△MHQ的周長最大時在對稱軸上找一點R，使|AR﹣MR|最大，求出此時R的坐標．

（3）T為線段BC上一動點，將△OCT沿邊OT翻折得到△OC′T，是否存在點T使△OC′T與△OBC的重疊部分為直角三角形，若存在請求出BT的長，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x+3；（2）R（1，）；（3）BT＝2或BT＝．

【解析】

（1）由已知可求A（﹣2，0），B（4，0），C（0，3），即可求BC的解析式；

（2）由已知可得∠QMH＝∠CBO，則有QH＝QM，MH＝MQ，所以△MHQ周長＝3QM，則求△MHQ周長的最大值，即為求QM的最大值；設M（m，），過點M與BC直線垂直的直線解析式為，交點，可求出，當m＝2時，MQ有最大值；函數的對稱軸為x＝1，作點M關于對稱軸的對稱點M'（0，3），連接AM'與對稱軸交于點R，此時|AR﹣MR|＝|AR﹣M'R|＝AM'，|AR﹣MR|的最大值為AM'；求出AM'的直線解析式為，則可求；

（3）有兩種情況：當TC'∥OC時，GO⊥TC'；當OT⊥BC時，分別求解即可．

解：（1）令y=0，即，解得，

∵點A在點B的左側

∴A（﹣2，0），B（4，0），

令x=0解得y=3，

∴C（0，3），

設BC所在直線的解析式為y=kx+3，

將B點坐標代入解得k=

∴BC的解析式為y＝-x+3；

（2）∵MQ⊥BC，M作x軸，

∴∠QMH＝∠CBO，

∴tan∠QMH＝tan∠CBO＝，

∴QH＝QM，MH＝MQ，

∴△MHQ周長＝MQ+QH+MH＝QM+QM+MQ＝3QM，

則求△MHQ周長的最大值，即為求QM的最大值；

設M（m，），

過點M與BC直線垂直的直線解析式為，

直線BC與其垂線相交的交點，

∴，

∴當m＝2時，MQ有最大值，

∴△MHQ周長的最大值為，此時M（2，3），

函數的對稱軸為x＝1，

作點M關于對稱軸的對稱點M'（0，3），

連接AM'與對稱軸交于點R，此時|AR﹣MR|＝|AR﹣M'R|＝AM'，

∴|AR﹣MR|的最大值為AM'；

∵AM'的直線解析式為y＝x+3，

∴R（1，）；

（3）①當TC'∥OC時，GO⊥TC'，

∵△OCT≌△OTC'，

∴，

∴

∴BT＝2；

②當OT⊥BC時，過點T作TH⊥x軸，

OT＝，

∵∠BOT＝∠BCO，

∴，

∴OH＝，

∴

∴BT＝；

綜上所述：BT＝2或BT＝．