Question

【題目】(本小題滿分10分) 已知雙曲線y=（x＞0），直線l1：y﹣=k（x﹣）（k＜0）過定點F且與雙曲線交于A，B兩點，設A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2），直線l2：y=﹣x+．

（1）若k =﹣1，求△OAB的面積S；

（2）若AB= ，求k的值；

（3）設N（0，2），P在雙曲線上，M在直線l2上且PM∥x軸，問在第二象限內是否存在一點Q，使得四邊形QMPN是周長最小的平行四邊形，若存在，請求出Q點的坐標。

Answer 1

【答案】（1）；（2）k=-2或k=-；（3）Q（— ，2 ）．

【解析】試題分析：(1)、首先求出當k=1時直線與反比例函數的交點，然后根據△OAB的面積=△AOC的面積減去△BOC的面積得出答案；(2)、首先聯立一次函數與反比例函數得出方程，從而求出兩根之和和兩根之積，然后根據兩點之間的距離得出關于k的一元二次方程，從而求出k的值；(3)、設P（x，），則M（﹣+，），從而得出PM和PF的長度，根據PM+PN=PF+PN≥NF=2，從而根據(1)得出最小值.

試題解析：（1）當k=1時，l1：y=﹣x+2，

聯立得，，化簡得x2﹣2x+1=0，

解得：x1=﹣1，x2=+1，

設直線l1與y軸交于點C，則C（0，2）．

S△OAB=S△AOC﹣S△BOC=2（x2﹣x1）=2；

（2）根據題意得： 整理得：kx2+（1﹣k）x﹣1=0（k＜0），

∵△=[（1﹣k）]2﹣4×k×（﹣1）=2（1+k2）＞0，

∴x1、x2 是方程的兩根，

∴ ①，

∴AB==，

=，

=，

將①代入得，AB==（k＜0），

∴=，

整理得：2k2+5k+2=0，

解得：k=-2，或 k=﹣；

（3）F（，），

設P（x，），則M（﹣+，），

則PM=x+﹣==，

∵PF==，

∴PM=PF．

∴PM+PN=PF+PN≥NF=2，

當點P在NF上時等號成立，此時NF的方程為y=﹣x+2，

由（1）知P（﹣1，+1），

∴當P（﹣1，+1）時，PM+PN最小，此時四邊形QMPN是周長最小的平行四

邊形，所以Q（— ，2 ）。