Question

【題目】已知一次函數y＝x﹣2的圖象經過（a，b），（a+1，b+k）兩點，并且與反比例函數的圖象交于第一象限內一點A．

（1）求反比例函數的解析式；

（2）請問：在x軸上是否存在點P，使△AOP為等腰三角形？若存在，直接寫出符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝；（2）存在．P1（﹣2，0），P2（2，0），P3（2，0），P4（，0）．

【解析】

（1）由一次函數y＝x﹣2的圖象經過（a，b），（a+1，b+k）兩點，即可得到方程組 ，解此方程組，即可求得k的值，從而求出反比例函數的解析式；

（2）聯立一次函數與反比例函數的解析式，得 ，解此方程組，即可求得點A的坐標；分別從OP＝OA，OA＝PA，AP=AP去分析求解，結合圖形，即可求得符合條件的點P的坐標

（1）∵一次函數y＝ x﹣2的圖象經過（a，b），（a+1，b+k）兩點，

∴，

②﹣①得：k＝ ，

∴反比例函數的解析式為：y＝ ；

（2）存在．

聯立一次函數與反比例函數的解析式，得：，

解得： 或 ，

∵點A在第一象限內，

∴點A的坐標為（ ，1）；

過點A作AB⊥x軸于B，

∵點A（，1），

∴OA＝ ＝2，

如圖1：當OP＝OA時，OP＝2，

則P1（﹣2，0），P2（2，0）；

當OA＝PA時，OB＝BP＝ ，

∴OP＝OB+BP＝2 ，

∴P3（2 ，0）；

如圖2：取OA的中點C，過點C作PC⊥OA，交x軸于P，

則OP＝AP，

∵OA＝2，

∴OC＝ OA＝1，

∵∠AOP＝30°，

∴OP＝，

∴P4（ ，0）．

綜上，符合條件的點P的坐標為：P1（﹣2，0），P2（2，0），P3（2 ，0），P4（，0）．