Question

閱讀下面材料：
小明遇到這樣一個問題：如圖1,在邊長為的正方形ABCD各邊上分別截取AE=BF=CG=DH=1,當∠AFQ=∠BGM=∠CHN=∠DEP=45°時,求正方形MNPQ的面積.小明發現：分別延長QE,MF,NG,PH,交FA,GB,HC,ED的延長線于點R,S,T,W,可得△RQF,△SMG,△TNH,△WPE是四個全等的等腰直角三角形（如圖2）

請回答：
（1）若將上述四個等腰直角三角形拼成一個新的正方形（無縫隙,不重疊）,則這個新的正方形的邊長為__________；
（2）求正方形MNPQ的面積.
參考小明思考問題的方法,解決問題：
如圖3,在等邊△ABC各邊上分別截取AD=BE=CF,再分別過點D,E,F作BC,AC,AB的垂線,得到等邊△RPQ,若,則AD的長為__________.

Answer 1

（1）這個新的正方形的邊長為a；（2）正方形MNPQ的面積為2；（3）AD的長為.

試題分析：（1）四個等腰直角三角形的斜邊長為a,其拼成的正方形面積為a²,邊長為a；
（2）如題圖2所示,正方形MNPQ的面積等于四個虛線小等腰直角三角形的面積之和,據此求出正方形MNPQ的面積；
（3）參照小明的解題思路,對問題做同樣的等積變換．如答圖1所示,三個等腰三角形△RSF,△QET,△PDW的面積和等于等邊三角形△ABC的面積,故陰影三角形△PQR的面積等于三個虛線等腰三角形的面積之和．據此列方程求出AD的長度．
試題解析：（1）四個等腰直角三角形的斜邊長為a,則斜邊上的高為 a,
每個等腰直角三角形的面積為：a•a= a²,
則拼成的新正方形面積為：4×a²=a²,即與原正方形ABCD面積相等,
∴這個新正方形的邊長為a；
（2）∵四個等腰直角三角形的面積和為a²,正方形ABCD的面積為a²,
∴S_{正方形MNPQ}=S_△ARE+S_△DWH+S_△GCT+S_△SBF=4S_△ARE=4××1²=2；
（3）如答圖1所示,分別延長RD,QF,PE,交FA,EC,DB的延長線于點S,T,W．

由題意易得：△RSF,△QET,△PDW均為底角是30°的等腰三角形,其底邊長均等于△ABC的邊長．
不妨設等邊三角形邊長為a,則SF=AC=a．
如答圖2所示,過點R作RM⊥SF于點M,則MF=SF=a,

在Rt△RMF中,RM=MF•tan30°=a× =a,
∴S_△RSF=a•a=a²．
過點A作AN⊥SD于點N,設AD=AS=x,
則AN=AD•sin30°=x,SD=2ND=2ADcos30°= x,
∴S_△ADS=SD•AN=•x•x=x²．
∵三個等腰三角形△RSF,△QET,△PDW的面積和=3S_△RSF=3×a²=a²,
∴S_△RPQ=S_△ADS+S_△CFT+S_△BEW=3S_△ADS,
∴=3×x²,得x²=,
解得x=或x=（不合題意,舍去）
∴x=,即AD的長為．