Question

【題目】已知：如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的一條角平分線，AN是△ABC外角∠CAM的平分線，CE⊥AN，垂足為點E.

(1)求證：四邊形ADCE為矩形；

(2)連接DE，交AC于點F，請判斷四邊形ABDE的形狀，并證明；

(3)線段DF與AB有怎樣的關系？請直接寫出你的結論．

Answer 1

【答案】(1)見解析 (2) 平行四邊形 (3)DF∥AB，DF＝AB

【解析】

（1）根據三線合一可得∠ADC＝90°，由外角的性質和角平分線的定義得AN∥BC,從而∠DAE＝90°，由CE⊥AN得∠AEC＝90°，從而四邊形ADCE為矩形．

（2）由四邊形ADCE為矩形，則AE＝CD，AC＝DE，結合已知可得AB＝DE，AE＝BD，從而四邊形ABDE是平行四邊形；

（3）由四邊形ADCE為矩形可得F是AC中點，由四邊形ABDE是平行四邊形可得DF∥AB，從而DF是△ABC的中位線.

(1)證明：∵在△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分線，

∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD.

∴∠ADC＝90°.

∵AN為△ABC的外角∠CAM的平分線，

∴∠MAN＝∠CAN.

∵AB＝AC，

∴∠ABC=∠ACB,

∵∠MAN+∠CAN=∠ABC+∠ACB,

∴∠MAN=∠ABC,

∴AN∥BC,

∴∠DAE＝90°.

∵CE⊥AN，

∴∠AEC＝90°.

∴四邊形ADCE為矩形．

(2)四邊形ABDE是平行四邊形．

證明：由(1)知，四邊形ADCE為矩形，則AE＝CD，AC＝DE.

又∵AB＝AC，BD＝CD，

∴AB＝DE，AE＝BD，

∴四邊形ABDE是平行四邊形．

(3) ∵四邊形ADCE為矩形

∴F是AC中點，

∵四邊形ABDE是平行四邊形

∴DF∥AB，

∴DF是△ABC的中位線.

∴DF∥AB，DF＝AB.