Question

在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，且BC=2．以CD為直徑作⊙O′交AD于點E，過點E作EF⊥AB于點F．建立如圖所示的平面直角坐標系，已知A、B兩點坐標分別為A（2，0）、B（0，2

3

）．
（1）求C、D兩點的坐標；
（2）求證：EF為⊙O′的切線；
（3）將梯形ABCD繞點A旋轉180°到A′B′C′D′，直線CD上是否存在點P，使以點P為圓心，PD為半徑的⊙P與直線C′D′相切？如果存在，請求出P點坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）連接CE，如圖，
∵CD是⊙O′的直徑，
∴CE⊥x軸，
∵四邊形ABCD為等腰梯形ABCD，
∵EO=BC=2，
CE=BO=2

3

，
DE=AO=2
∴DO=4，
∴C（-2，2

3

）D（-4，0）；

（2）證明：連接O′E，如圖，在⊙O′中，
∵O′D=O′E，
∴∠O′DE=∠1，
在等腰梯形ABCD中，∠CDA=∠BAD
∴∠1=∠BAD
∴O′E∥BA
又∵EF⊥BA
∴O′E⊥EF
∴EF為⊙O′的切線．

（3）存在．理由如下：
過A作AM⊥CD于M，且交C′D′于N
∵梯形A′B′C′D′與梯形ABCD關于點A成中心對稱
∴C′D′∥CD，
∴AN⊥C′D′且AM=AN，
在Rt△CDE中，CE=2

3

，DE=2，
∴∠D=60°
在Rt△ADM中，
AM=AD•sinD=[2-（-4）]•sin60°=3

3

，
∴MN=6

3

．
設點P存在，則PD=MN=6

3

，
作PQ⊥x軸于點Q，
∴PQ=PD•sinD=6

3

•

3

2

=9，
DQ=PD•cosD=6

3

•

1

2

=3

3

，
①若點P在DC的延長線上，
∴OQ=DQ-DO=3

3

-4，
∴P（3

3

-4，9）．
②若點P在CD的延長線上，
∴OQ=3

3

+4，
∴P（-3

3

-4，-9）．
∴在直線CD上存在點P（3

3

-4，9）和P（-3

3

-4，-9），使以點P為圓心，PD為半徑的⊙P與直線C′D′相切．