Question

【題目】如圖，直線(xiàn)與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于B，點(diǎn)P是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).
（1）求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）當(dāng)點(diǎn)P在x軸正半軸上，且△APB的面積為8時(shí)，求直線(xiàn)PB的解析式；

（3）點(diǎn)Q在第二象限，是否存在以A、B、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）B(0,4),A（﹣3，0）；（2）y=﹣x+4；（3）（﹣5，4）或（﹣，4）

【解析】

（1）根據(jù)坐標(biāo)軸上點(diǎn)的特點(diǎn)即可得出結(jié)論；
（2）設(shè)出點(diǎn)P坐標(biāo)，利用△PAB的面積建立方程求出P的坐標(biāo)，最后用待定系數(shù)法求解即可；
（3）先判斷出點(diǎn)Q在直線(xiàn)y=4上，再分兩種情況討論計(jì)算即可．

（1）令x=0時(shí)，y=4， ∴B（0，4），

令y=0時(shí)， x+4=0，

∴x=﹣3，

∴A（﹣3，0）；

（2）設(shè)點(diǎn)P（m，0）（m＞0）， ∵A（﹣3，0），

∴AP=m﹣（﹣3）=m+3，

∵△APB的面積為8，

∴S△APB= AP×OB= （m+3）×4=8，

∴m=1，

∴P（1，0），

∵B（0，4），

∴設(shè)直線(xiàn)PB的解析式為y=kx+4，

∴k+4=0，

∴k=﹣4，

∴直線(xiàn)PB的解析式為y=﹣x+4；

（3）如圖，

∵以A、B、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，且P在x軸上，

∴BQ∥AP，

∴點(diǎn)Q在直線(xiàn)y=4上，

由（1）知，A（﹣3，0），B（0，4），

∴AB=5，

∵點(diǎn)Q在第二象限內(nèi)，

∴①當(dāng)AB為菱形的邊時(shí)，

∴BQ'=AB=5，

∴Q'（﹣5，4），

②當(dāng)AB為菱形的對(duì)角線(xiàn)時(shí)，AB，PQ互相垂直平分，

∵直線(xiàn)AB的解析式為y= x+4，

∴直線(xiàn)PQ的解析式為y=﹣ x+ ，

當(dāng)y=4時(shí)，則﹣ x+ =4，

∴x=﹣ ，

∴Q（﹣ ，4），

∴滿(mǎn)足條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（﹣5，4）或（﹣ ，4）．