Question

【題目】如圖，在白紙上畫兩條長度均為且夾角為的線段、，然后你把一支長度也為的鉛筆放在線段上，將這支鉛筆以線段上的一點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周。

（1）若與重合，當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為______時(shí)，這支鉛筆與線段、圍成的三角形是等腰三角形。

（2）點(diǎn)從逐漸向移動(dòng)，記：

①若，當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為、______、______、______、、______時(shí)這支鉛筆與線段、共圍成6個(gè)等腰三角形。

②當(dāng)這支鉛筆與線段、正好圍成5個(gè)等腰三角形時(shí)，求的取值范圍。

③當(dāng)這支鉛筆與線段、正好圍成3個(gè)等腰三角形時(shí)，直接寫出的取值范圍。

Answer 1

【答案】（1）或；（2）①、、、；②；③

【解析】

(1)運(yùn)用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)作答即可;

(2)①對(duì)旋轉(zhuǎn)的各個(gè)位置進(jìn)行討論，即可完成解答; 當(dāng)旋轉(zhuǎn)，，時(shí)，這段與、三次圍成等腰三角形，這樣正好圍成6個(gè)等于三角形分類討論即可；

解：（1）當(dāng)已知的30°角為底角，那么旋轉(zhuǎn)30°即可；

當(dāng)已知的30°角為頂角，那么旋轉(zhuǎn)75°即可；

故答案為：或.

（2）①t=1，即P為AB的中點(diǎn):

當(dāng)已知的30°角為底角，那么30°、120°、210°、300°即可；

當(dāng)已知的30°角為頂角,那么旋轉(zhuǎn)75°、255°即可；

故答案為:、、、

②如圖1，位于中點(diǎn)時(shí)，分成了、兩段，以點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心將其旋轉(zhuǎn)，，時(shí)，這段與、三次圍成等腰三角形，當(dāng)旋轉(zhuǎn)，，時(shí)這段與、三次圍成等腰三角形，這樣正好圍成6個(gè)等于三角形，此時(shí).

如圖2，當(dāng)旋轉(zhuǎn)時(shí)，當(dāng)（起初與重合的）正好與等長，即時(shí)，當(dāng)旋轉(zhuǎn)，，時(shí)較長的這段與、三次圍成等腰三角形，當(dāng)旋轉(zhuǎn)，時(shí)較短的這段與、兩次圍成等腰三角形，

如圖，，，，令，則，，易知，，，

此時(shí)可求得，，，

故旋轉(zhuǎn)形成5個(gè)等腰三角形時(shí)，.

③如圖：

當(dāng)時(shí)，3個(gè) ， 當(dāng)時(shí)，4個(gè) ，

可求得<.

注：時(shí)可這樣求解，如下圖

在上取，使，則，，令，

則，，，，

化成亦可.