Question

（2012•永州）如圖所示，已知二次函數y=ax²+bx-1（a≠0）的圖象過點A（2，0）和B（4，3），l為過點（0，-2）且與x軸平行的直線，P（m，n）是該二次函數圖象上的任意一點，過P作PH⊥l，H為垂足．
（1）求二次函數y=ax²+bx-1（a≠0）的解析式；
（2）請直接寫出使y＜0的對應的x的取值范圍；
（3）對應當m=0，m=2和m=4時，分別計算|PO|²和|PH|²的值．由此觀察其規律，并猜想一個結論，證明對于任意實數m，此結論成立；
（4）試問是否存在實數m可使△POH為正三角形？若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據二次函數y=ax²+bx-1（a≠0）的圖象過點A（2，0）和B（4，3），待定系數法求出a和b的值，拋物線的解析式即可求出；
（2）令y=ax²+bx-1=0，解出x的值，進而求出使y＜0的對應的x的取值范圍；
（3）分別求出當m=0，m=2和m=4時，分別計算|PO|²和|PH|²的值．然后觀察其規律，再進行證明；
（4）由（3）知OP=PH，只要OH=OP成立，△POH為正三角形，求出|OP|、|OH|含有m和n的表達式，令兩式相等，求出m和n的值．

解答：解：（1）∵二次函數y=ax²+bx-1（a≠0）的圖象過點A（2，0）和B（4，3），
∴

4a+2b-1=0 16a+4b-1=3

，
解得a=

1

4

，b=0，
∴二次函數的解析式為y=

1

4

x²-1；

（2）令y=

1

4

x²-1=0，
解得x=-2或x=2，
由圖象可知當-2＜x＜2時y＜0；

（3）當m=0時，|PO|²=1，|PH|²=1；
當m=2時，P點的坐標為（2，0），|PO|²=4，|PH|²=4，
當m=4時，P點的坐標為（4，3），|PO|²=25，|PH|²=25，
由此發現|PO|²=|PH|²，
設P點坐標為（m，n），即n=

1

4

m²-1
|OP|=

m2+n2

，
|PH|²=n²+4n+4=n²+m²，
故對于任意實數m，|PO|²=|PH|²；

（4）由（3）知OP=PH，只要OH=OP成立，△POH為正三角形，
設P點坐標為（m，n），|OP|=

m2+n2

，
|OH|=

4+m2

，
|OP|=|OH|，即n²=4，解得n=±2，
當n=-2時，n=

1

4

m²-1不符合條件，
故n=2，m=±2

3

時可使△POH為正三角形．

點評：本題主要考查二次函數的綜合題，解答本題的關鍵是熟練掌握二次函數的圖形特征和性質，特別是（3）問的解答很關鍵，是解答（4）問的墊腳石，此題難度一般．