Question

【題目】已知，在中， ．過A點的直線從與邊重合的位置開始繞點按順時針方向旋轉角，直線交BC邊于點（點不與點、點重合），的邊始終在直線上（點在點的上方），且，連接。

（1）當時，

①如圖a，當時，求的度數；

②如圖b，當時， 的度數是否發生變化？說明理由.

（2）如圖c，當時，請直接寫出與之間的數量關系，不必證明.

Answer 1

【答案】（1）①∠ANC=45°；②當θ≠45°時，①中的結論不發生變化． 理由見解析

（2）∠ANC=90°﹣∠BAC．理由見解析

【解析】試題分析：（1）①證明四邊形ABNC是正方形，根據正方形的對角線平分一組對角線即可求解；②根據等腰直角三角形的性質可得∠BNP=∠ACB，然后證明△BNP和△ACP相似，根據相似三角形對應邊成比例可得，再根據兩邊對應成比例夾角相等可得△ABP和△CNP相似，然后根據相似三角形對應角相等可得∠ANC=∠ABC，從而得解；

（2）根據等腰三角形的兩底角相等求出∠BNP=∠ACB，然后證明△BNP和△ACP相似，根據相似三角形對應邊成比例可得，再根據兩邊對應成比例夾角相等可得△ABP和△CNP相似，然后根據相似三角形對應角相等可得∠ANC=∠ABC，然后根據三角形的內角和定理列式整理即可得解．

試題解析：（1）①∵∠BAC=90°，θ=45°，

∴AP⊥BC，BP=CP（等腰三角形三線合一），

∴AP=BP（直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半），

又∵∠MBN=90°，BM=BN，

∴AP=PN（等腰三角形三線合一），

∴AP=PN=BP=PC，且AN⊥BC，

∴四邊形ABNC是正方形，

∴∠ANC=45°；

②連接CN，

當θ≠45°時，①中的結論不發生變化．理由如下：

∵∠BAC=∠MBN=90°，AB=AC，BM=BN，

∴∠ABC=∠ACB=∠BNP=45°，

又∵∠BPN=∠APC，

∴△BNP∽△ACP，

∴，

又∵∠APB=∠CPN，

∴△ABP∽△CNP，

∴∠ANC=∠ABC=45°；

（2）∠ANC=90°﹣∠BAC．理由如下：

∵∠BAC=∠MBN≠90°，AB=AC，BM=BN，

∴∠ABC=∠ACB=∠BNP=（180°﹣∠BAC），

又∵∠BPN=∠APC，

∴△BNP∽△ACP，

∴，

又∵∠APB=∠CPN，

∴△ABP∽△CNP，

∴∠ANC=∠ABC，

在△ABC中，

∠ABC=（180°﹣∠BAC）=90°﹣∠BAC．