Question

【題目】已知二次函數y＝2x2＋4x－6．

(1)將其化成y＝a(x－h)2＋k的形式；

(2)寫出開口方向，對稱軸方程，頂點坐標；

(3)求圖象與兩坐標軸的交點坐標；

(4)畫出函數圖象；

(5)說明其圖象與拋物線y＝x2的關系；

(6)當x取何值時，y隨x增大而減小；

(7)當x取何值時，y＞0，y＝0，y＜0；

(8)當x取何值時，函數y有最值?其最值是多少?

(9)當y取何值時，－4＜x＜0；

(10)求函數圖象與兩坐標軸交點所圍成的三角形面積．

Answer 1

【答案】(1)y＝2(x＋1)2－8；

(2)開口向上，直線x＝－1，頂點(－1，－8)；

(3)與x軸交點(－3，0)(1，0)，與y軸交點(0，－6)；

(4)圖略；

(5)將拋物線y＝x2向左平移1個單位，向下平移8個單位；然后圖像上所有點橫坐標擴大為原來的2倍，得到y＝2x2＋4x－6的圖象；

(6)x≤－1；

(7)當x＜－3或x＞1時，y＞0；當x＝－3或x＝1時，y＝0；

當－3＜x＜1時，y＜0；

(8)x＝－1時，y最小值＝－8；

(9)－8≤y＜10；

(10)S△＝12．

【解析】試題分析：（1）將函數表達式配方成頂點式形式，先將二次項、一次項分別提取a，然后加上，再減去 即可得到y＝2(x＋1)2－8.（2）由a值的正負，或圖像可判斷開口方向。頂點式可看出對稱軸和頂點坐標。（3）分別讓x=0,y=0可分別求出圖像與y軸的坐標，和x軸的坐標.（4）可根據頂點坐標，圖像與x、y軸交點坐標，簡略畫出函數圖像.（5）將拋物線y＝x2經過一定的平移可得到y＝2(x＋1)2－8.（6）根據函數圖像可判斷函數的增減性，最值以及x的取值與y.

試題解析：（1）通過配方法可以將y＝2x2＋4x－6配方成y＝2(x＋1)2－8.

（2）由圖像可以看出開口向上，由頂點式得對稱軸為直線x＝－1，頂點坐標為(－1，－8)；

(3)當y=0時求得與x軸交點(－3，0)(1，0)，可求得當x=0時與y軸交點(0，－6)；

（4）如圖所示為拋物線圖像；（5）函數圖像與拋物線y＝x2的關系：觀察圖可知，是由拋物線y＝x2先向左平移一個單位，然后圖像上所有點橫坐標擴大為原來的2倍，然后再向下平移八個單位得到的；（6）觀察圖，在對稱軸左邊，即x≤-1時，y隨x的增大而減小。（7）有圖得，x<-3或x>1時，y>0；當x=-3或x=1時，y=0；當-3<x<1時，y<0;（8）由圖得，當x=-1時，y有最小值，y最小=-8；（9）當x=-4時，y=10;當x=0時，y=-8；所以，當-8≤y≤10時，-4≤x≤0；（10）函數圖像與坐標軸交點坐標分別為（-3,0）、（1,0）、（0，-6），所以圍成的三角形面積S=（3+1）×6×=12.