Question

【題目】正方形ABCD中，點E、F分別是邊AD、AB的中點，連接EF.

（1）如圖1，若點G是邊BC的中點，連接FG，則EF與FG關系為：　 　；

（2）如圖2，若點P為BC延長線上一動點，連接FP，將線段FP以點F為旋轉中心,逆時針旋轉900，得到線段FQ，連接EQ，請猜想EF、EQ、BP三者之間的數量關系，并證明你的結論；

（3）若點P為CB延長線上一動點，按照（2）中的作法，在圖3中補全圖形，并直接寫出EF、EQ、BP三者之間的數量關系： 　 　.

Answer 1

【答案】解：（1）垂直且相等。

（2）EF、EQ、BP三者之間的數量關系為：。

證明如下：

如圖，取BC的中點G，連接FG，

由（1）得EF=FG，EF⊥FG，

根據旋轉的性質，FP=FQ，∠PFQ =90°。

∴∠GFP=∠GFE—∠EFP=90°—∠EFP，

∠EFQ=∠PFQ—∠EFP=90°—∠EFP。

∴∠GFP=∠EFQ。

在△FQE和△FPG中，∵EF=GF，∠EFQ=∠GFP，FQ = FP，

∴△FQE≌△FPG（SAS）。∴EQ=GP。

∴。

（3）補圖如下，F、EQ、BP三者之間的數量關系為：。

【解析】

試題分析：（1）EF與FG關系為垂直且相等（EF=FG且EF⊥FG）。證明如下：

∵點E、F、G分別是正方形邊AD、AB、BC的中點，

∴△AEF和△BGD是兩個全等的等腰直角三角形。

∴EF=FG，∠AFE=∠BFG=45°。∴∠EFG=90°，即EF⊥FG。

（2）取BC的中點G，連接FG，則由SAS易證△FQE≌△FPG，從而EQ=GP，因此。

（3）同（2）可證△FQE≌△FPG（SAS），得EQ=GP，因此，

。