Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，D是AB的中點，點E、F分別在AC、BC邊上運動（點E不與點A、C重合），且保持AE=CF，連接DE，DF，EF．在此運動變化的過程中，有下列結論：

①△DFE是等腰直角三角形；
②四邊形CEDF不可能為正方形；
③四邊形CEDF的面積隨點E位置的改變而發生變化；
④點C到線段EF的最大距離為 ．
其中正確結論的個數是（ ）
A.1個
B.2個
C.3個
D.4個

Answer 1

【答案】B
【解析】連接CD，∵∠C=90°，AC=BC=4，∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠A=∠B=45°，

∵D為AB的中點，∴CD⊥AB，CD=AD=BD，∴∠DCB=∠B=45°，∴∠A=∠DCF，

在△ADE和△CDF中，AE＝CF，∠A＝∠DCF，AD＝CD ∴△ADE≌△CDF（SAS）， ∴ED=DF，∠CDF=∠ADE，

∵∠ADE+∠EDC=90°， ∴∠EDC+∠CDF=90°，即∠EDF=90°， ∴△DFE是等腰直角三角形，所以①正確；

當E、F分別為AC、BC中點時，如圖2，則AE=CE=CF=BF，DE=AE=CE， ∴CE=CF=DE=DF，

而∠ECF=90°， ∴四邊形CDFE是正方形，所以②錯誤；

∵△ADE≌△CDF， ∴S△ADE=S△CDF，

∴S四邊形CEDF=S△CDE+S△CDF=S△CDE+S△ADE=S△ADC= S△ABC= × ×4×4=4，所以③錯誤；

∵△CEF和△DEF都為直角三角形， ∴點C、D在以EF為直徑的圓上，即點C、E、D、F四點在同一個圓上，

∵△DEF是等腰直角三角形，∴EF= DE，當DE⊥AC時，DE最短，此時DE= AC=2，

∴EF的最小值為2 ，即點C到EF的最小距離為 ，所以④正確．

連接CD，根據等腰直角三角形的性質得∠A=∠B=45°，根據等腰三角形的三線合一得CD⊥AB，CD=AD=BD，根據等邊對等角得出∠DCB=∠B=45°，∴∠A=∠DCF，從而利用SAS判斷出△ADE≌△CDF，根據全等三角形對應邊，對應角相等得出ED=DF，∠CDF=∠ADE，根據等量代換得出∠EDF=90°，故△DFE是等腰直角三角形；當E、F分別為AC、BC中點時，如圖2，則AE=CE=CF=BF，DE=AE=CE， 故CE=CF=DE=DF，

而∠ECF=90°， 從而知四邊形CDFE是正方形；根據全等三角形的面積相等得出S△ADE=S△CDF，然后由S四邊形CEDF=S△CDE+S△CDF=S△CDE+S△ADE=S△ADC= S△ABC；根據圓周角定理判斷出點C、D在以EF為直徑的圓上，即點C、E、D、F四點在同一個圓上，又△DEF是等腰直角三角形，根據勾股定理得出EF=DE，當DE⊥AC時，DE最短，此時DE= AC=2，從而求出EF的最小值。