Question

【題目】如圖所示,在菱形ABCD中,AB=2,∠DAB=60°,點E是AD邊的中點,點M是AB邊上一動點(不與點A重合),延長ME交射線CD于點N,連接MD,AN.

(1)求證:四邊形AMDN是平行四邊形;

(2)①當AM為何值時,四邊形AMDN是矩形?

②當AM為何值時,四邊形AMDN是菱形?

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①當AM=1時,四邊形AMDN是矩形，②當AM=2時,四邊形AMDN是菱形.

【解析】試題分析：（1）利用菱形的性質可得ND∥AM，根據平行線的性質可得∠NDE=∠MAE,∠DNE=∠AME，利用AAS證明△NDE≌△MAE，根據全等三角形的性質可得ND=MA，由一組對邊平行且相等的四邊形為平行四邊形即可的四邊形AMDN是平行四邊形；（2）①有（1）可知四邊形AMDN是平行四邊形，利用有一個角為直角的平行四邊形為矩形即∠DMA=90°，所以AM=AD=1時即可；②當平行四邊形AMND的鄰邊AM=DM時，四邊形為菱形，利用已知條件再證明△AMD是等邊三角形即可．

試題解析：

(1)證明:∵四邊形ABCD是菱形，

∴ND∥AM，

∴∠NDE=∠MAE,∠DNE=∠AME.

又∵點E是AD邊的中點，

∴DE=AE，

∴△NDE≌△MAE，

∴ND=MA，

∴四邊形AMDN是平行四邊形.

(2)①當AM=1時,四邊形AMDN是矩形.

理由如下:

∵四邊形ABCD是菱形，

∴AB=AD=2.

當AM=1=AD時,可得∠ADM=30°.

∵∠DAM=60°，

∴∠AMD=90°，

∴平行四邊形AMDN是矩形.

②當AM=2時,四邊形AMDN是菱形.

理由如下:

∵四邊形ABCD是菱形，

∴AB=AD=2.

∵AM=2，

∴AM=AD=2，

又∠DAM=60°，

∴△AMD是等邊三角形，

∴AM=DM，

∴平行四邊形AMDN是菱形.