Question

【題目】如圖，在菱形中，，垂足為，，，是的中點．現有下列四個結論：①；②四邊形的面積等于；③；④．其中正確結論的個數為（ ）

A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個

Answer 1

【答案】C

【解析】

設DE=3k， AE=4k，根據勾股定理求得AD=5k，BE=k，從而求出邊長及高，計算面積，可得①②正確；連接BD、AC，根據勾股定理可求對角線BD的長，再利用菱形面積的兩種表示法求得AC的長，即可得③正確；作DH⊥BC于H點，則DH=DE，根據垂線段最短可得DH＜DF，所以DE＜DF，即可得④錯誤．

設DE=3k，則AE=4k，根據勾股定理求得AD=5k，

∴AD=AB=5k。

∴BE=AB-AE=5k-4k=k=1，

∴AB=5，DE=3．

故①正確；

S梯形DEBC=×（1+5）×3=9，

故②正確；

連接DB，

∵DE=3，EB=1，

∴DB=．

又∵SABCD=AB×DE=5×3=15，SABCD=×BD×AC，

∴15=× ×AC，

AC=3．

（AC+BD）（AC-BD）=AC2-BD2=（3）2-（）2=90-10=80．

故③正確；

作DH⊥BC于H點．

∵DE⊥AB，DH⊥BC，∠ABD=∠CBD，

∴DE=DH．

又DH＜DF，

∴DE＜DF．故④錯誤．

所以①②③正確．

故選C．