Question

【題目】拋物線y＝x2+bx+c經過點A、B、C，已知A（﹣1，0），C（0，﹣3）．

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖1，拋物線頂點為E，EF⊥x軸于F點，M（m，0）是x軸上一動點，N是線段EF上一點，若∠MNC＝90°，請指出實數m的變化范圍，并說明理由．

（3）如圖2，將拋物線平移，使其頂點E與原點O重合，直線y＝kx+2（k＞0）與拋物線相交于點P、Q（點P在左邊），過點P作x軸平行線交拋物線于點H，當k發生改變時，請說明直線QH過定點，并求定點坐標．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）；（3）當k發生改變時，直線QH過定點，定點坐標為（0，﹣2）

【解析】

（1）把點A（﹣1，0），C（0，﹣3）代入拋物線表達式求得b，c，即可得出拋物線的解析式；

（2）作CH⊥EF于H，設N的坐標為（1，n），證明Rt△NCH∽△MNF，可得m＝n2+3n+1，因為﹣4≤n≤0，即可得出m的取值范圍；

（3）設點P（x1，y1），Q（x2，y2），則點H（﹣x1，y1），設直線HQ表達式為y＝ax+t，用待定系數法和韋達定理可求得a＝x2﹣x1，t＝﹣2，即可得出直線QH過定點（0，﹣2）．

解：（1）∵拋物線y＝x2+bx+c經過點A、C，

把點A（﹣1，0），C（0，﹣3）代入，得：，

解得，

∴拋物線的解析式為y＝x2﹣2x﹣3；

（2）如圖，作CH⊥EF于H，

∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，

∴拋物線的頂點坐標E（1，﹣4），

設N的坐標為（1，n），﹣4≤n≤0

∵∠MNC＝90°，

∴∠CNH+∠MNF＝90°，

又∵∠CNH+∠NCH＝90°，

∴∠NCH＝∠MNF，

又∵∠NHC＝∠MFN＝90°，

∴Rt△NCH∽△MNF，

∴，即

解得：m＝n2+3n+1＝，

∴當時，m最小值為；

當n＝﹣4時，m有最大值，m的最大值＝16﹣12+1＝5．

∴m的取值范圍是．

（3）設點P（x1，y1），Q（x2，y2），

∵過點P作x軸平行線交拋物線于點H，

∴H（﹣x1，y1），

∵y＝kx+2，y＝x2，

消去y得，x2﹣kx﹣2＝0，

x1+x2＝k，x1x2＝﹣2，

設直線HQ表達式為y＝ax+t，

將點Q（x2，y2），H（﹣x1，y1）代入，得，

∴y2﹣y1＝a（x1+x2），即k（x2﹣x1）＝ka，

∴a＝x2﹣x1，

∵＝（ x2﹣x1）x2+t，

∴t＝﹣2，

∴直線HQ表達式為y＝（ x2﹣x1）x﹣2，

∴當k發生改變時，直線QH過定點，定點坐標為（0，﹣2）．