Question

（2013•溫州）如圖，在平面直角坐標系中，直線AB與x軸，y軸分別交于點A（6，0），B（0，8），點C的坐標為（0，m），過點C作CE⊥AB于點E，點D為x軸上的一動點，連接CD，DE，以CD，DE為邊作?CDEF．
（1）當0＜m＜8時，求CE的長（用含m的代數式表示）；
（2）當m=3時，是否存在點D，使?CDEF的頂點F恰好落在y軸上？若存在，求出點D的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）點D在整個運動過程中，若存在唯一的位置，使得?CDEF為矩形，請求出所有滿足條件的m的值．

Answer 1

分析：（1）首先證明△BCE∽△BAO，根據相似三角形的對應邊的比相等即可求得；
（2）證明△EDA∽△BOA，根據相似三角形的對應邊的比相等即可求得；
（3）分m＞0，m=0和m＜0三種情況進行討論，當m=0時，一定成立，當m＞0時，分0＜m＜8和m＞8兩種情況，利用三角函數的定義即可求解．當m＜0時，分點E與點A重合和點E與點A不重合時，兩種情況進行討論．

解答：解：（1）∵A（6，0），B（0，8）．
∴OA=6，OB=8．
∴AB=10，
∵∠CEB=∠AOB=90°，
又∵∠OBA=∠EBC，
∴△BCE∽△BAO，
∴

CE

OA

=

BC

AB

，即

CE

6

=

8-m

10

，
∴CE=

24

5

-

3

5

m；

（2）∵m=3，
∴BC=8-m=5，CE=

24

5

-

3

5

m=3．
∴BE=4，
∴AE=AB-BE=6．
∵點F落在y軸上（如圖2）．
∴DE∥BO，
∴△EDA∽△BOA，
∴

AD

OA

=

AE

AB

即

6-OD

6

=

6

10

．
∴OD=

12

5

，
∴點D的坐標為（

12

5

，0）．

（3）取CE的中點P，過P作PG⊥y軸于點G．
則CP=

1

2

CE=

12

5

-

3

10

m．
（Ⅰ）當m＞0時，
①當0＜m＜8時，如圖3．易證∠GCP=∠BAO，
∴cos∠GCP=cos∠BAO=

3

5

，
∴CG=CP•cos∠GCP=

3

5

（

12

5

-

3

10

m）=

36

25

-

9

50

m．
∴OG=OC+CG=m+

36

25

-

9

50

m=

41

50

m+

36

25

．
根據題意得，得：OG=CP，
∴

41

50

m+

36

25

=

12

5

-

3

10

m，
解得：m=

6

7

；
②當m≥8時，OG＞CP，顯然不存在滿足條件的m的值．
（Ⅱ）當m=0時，即點C與原點O重合（如圖4）．
（Ⅲ）當m＜0時，
①當點E與點A重合時，（如圖5），
易證△COA∽△AOB，
∴

CO

AO

=

AO

OB

，即

-m

6

=

6

8

，
解得：m=-

9

2

．
②當點E與點A不重合時，（如圖6）．
OG=OC-CG=-m-（

36

25

-

9

50

m）
=-

41

50

m-

36

25

．
由題意得：OG=CP，
∴-

41

50

m-

36

25

=

12

5

-

3

10

m．
解得m=-

96

13

．
綜上所述，m的值是

6

7

或0或-

9

2

或-

96

13

．

點評：本題是相似三角形的判定與性質以及三角函數的綜合應用，正確進行分類是關鍵．