Question

【題目】如圖：已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的頂點P是BC邊上的中點，兩邊PE，PF分別交AB，AC于點E，F，給出以下四個結論：①AE=CF；②EF=AP；③2S四邊形AEPF=S△ABC；④當∠EPF在△ABC內繞頂點P旋轉時（點E不與A，B重合）有BE+CF=EF；上述結論中始終正確的序號有（ ）個

A.1個B.2個C.3個D.4個

Answer 1

【答案】B

【解析】

根據 “角邊角”證明△APE和△CPF全等，根據全等三角形的可得AE=CF，判定①正確，根據等腰直角三角形的斜邊等于直角邊的 倍表示出EF，可知EF隨著點E的變化而變化，判定②錯誤, 根據全等三角形的面積相等可得△APE的面積等于△CPF的面積相等，然后求出四邊形AEPF的面積等于△ABC的面積的一半，判定③正確．根據等腰直角三角形的斜邊等于直角邊的倍表示出EF，可知EF隨著點E的變化而變化，判定④錯誤．

解：如圖，連接EF，
∵AB=AC，∠BAC=90°，點P是BC的中點，

∴AP⊥BC，AP=PC，∠EAP=∠C=45°，

∴∠APF+∠CPF=90°，

∵∠EPF是直角，

∴∠APF+∠APE=90°，

∴∠APE=∠CPF，；

在△APE和△CPF中， ，

∴△APE≌△CPF（ASA），

∴AE=CF，故①正確；

∵△APE≌△CPF

∴EP=FP

∴△EFP是等腰直角三角形，

∴EF=PF，

而只有F點為AC的中點時，AP=PF，

即點F為AC的中點時有EF=AP，所以②不一定正確．

∵△APE≌△CPF，
∴S△APE=S△CPF，
∴S四邊形AEPF=S△APF+S△APE=S△APF+S△CPF=S△APC= S△ABC，

∴2S四邊形AEPF=S△ABC

故③正確，

根據等腰直角三角形的性質，EF=PE，

∵EF≤AE+AF，即EF≤AC

∵BE+CF=AC，

∴BE+CF≥EF，故④錯誤；

綜上所述，正確的結論有①③共2個．
故選：B．