Question

【題目】如圖，已知二次函數的圖象與y軸交于點A(0，4），與x軸交于點B，C，點C坐標為(8，0），連接AB，AC．

（1）請直接寫出二次函數的解析式．

（2）判斷△ABC的形狀，并說明理由．

（3）若點N在x軸上運動，當以點A，N，C為頂點的三角形是等腰三角形時，請寫出此時點N的坐標．

Answer 1

【答案】（1）；（2）直角三角形，證明見解析；（3）（3，0）或（-8，0）或（，0）或（，0）

【解析】

(1)根據待定系數法即可求得;
(2)根據拋物線的解析式求得B的坐標,然后根據勾股定理分別求得AB2=20,AC2=80,BC=10然后根據勾股定理的逆定理即可證得△ABC是直角三角形
(3)分別以A.C兩點為圓心,AC長為半徑畫弧,與m軸交于三個點,由AC的垂直平分線與c軸交于一個點,即可求得點N的坐標

(1)∵二次函數的圖象與y軸交于點A(0,4),與x軸交于點B.C,點C坐標(8,0),

∴
解得
∴拋物線表達式：

△ABC是直角三角形.
令y=0,則
解得x1=8,x2=-2,
∴點B的坐標為(-2,0),
由已知可得,
在Rt△ABO中
AB2=BO2+AO2=22+42=20,
在Rt△AOC中
AC2=AO2+CO2=42+82=80,
又∴BC=OB+OC=2+8=10,
∴在△ABC中
AB2+AC2=20+80=102=BC2
∴△ABC是直角三角形

(3)∵A(0,4),C(8,0),
AC==4,
①以A為圓心,以AC長為半徑作圓,交軸于N,此時N的坐標為(-8,0),
②以C為圓心,以AC長為半徑作圓,交x軸于N,此時N的坐標為(,0)或(,0)
③作AC的垂直平分線,交g軸于N,此時N的坐標為(3,0),
綜上,若點N在軸上運動,當以點A、N、C為頂點的三角形是等腰三角形時,點N的坐標分別為(-8,0)、(,0)、(3,0)、,0)