Question

【題目】定義：若關于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩個實數根為x1，x2（x1＜x2），分別以x1，x2為橫坐標和縱坐標得到點M（x1，x2），則稱點M為該一元二次方程的衍生點．

（1）若方程為x2-2x=0，寫出該方程的衍生點M的坐標．

（2）若關于x的一元二次方程x2-（2m+1）x+2m=0（m＜0）的衍生點為M，過點M向x軸和y軸作垂線，兩條垂線與坐標軸恰好圍成一個正方形，求m的值．

（3）是否存在b，c，使得不論k（k≠0）為何值，關于x的方程x2+bx+c=0的衍生點M始終在直線y=kx-2（k-2）的圖象上，若有請直接寫出b，c的值，若沒有說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（0,2）；（2）-；（3）b=-6，c=8．

【解析】

（1）求出方程的兩根，根據一元二次方程的衍生點即可解決問題；

（2）求出方程的兩根，根據一元二次方程的衍生點的定義，再利用正方形的性質構建方程即可解決問題；

（3）求出定點，利用根與系數的關系解決問題即可.

（1）∵x2-2x=0，

∴x（x-2）=0，

解得：x1=0，x2=2

故方程x2-2x=0的衍生點為M（0，2）．

（2）x2-（2m+1）x+2m=0（m＜0）∵m＜0∴2m＜0

解得：x1=2m，x2=1，

方程x2-（2m+1）x+2m=0（m＜0）的衍生點為M（2m，1）．

點M在第二象限內且縱坐標為1，由于過點M向兩坐標軸做垂線，兩條垂線與x軸y軸恰好圍城一個正方形，

所以2m=-1，解得m＝．

（3）存在．

直線y=kx-2（k-2）=k（x-2）+4，過定點M（2，4），

∴x2+bx+c=0兩個根為x1=2，x2=4，

∴2+4=-b，2×4=c，

∴b=-6，c=8．