Question

【題目】如圖，直線y＝x+4與x軸交于點A，與y軸交于點B，拋物線y＝﹣x2+bx+c經過A，B兩點，與x軸正半軸交于點C，連接BC，P為線段AC上的動點，P與A，C不重合，作PQ∥BC交AB于點Q，A關于PQ的對稱點為D，連接PD，QD，BD．

（1）求拋物線的解析式；

（2）當點D在拋物線上時，求點P的坐標．

（3）設點P的橫坐標為x，△PDQ與△ABC的重疊部分的面積為S

①直接寫出S與x的函數關系式；

②當△BDQ為直角三角形時，直接寫出x的值．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+x+4；（2）點P的坐標（1，0）；（3）①當時，，當時，，②當為直角三角形時，x的值是或．

【解析】

（1）根據一次函數解析式求得A，B兩點坐標，然后代入到二次函數解析式中，用待定系數法求函數解析式；

（2）設點P的坐標（x，0），由拋物線解析式求得C點坐標，由此求得∠BCO=45°，由平行線的和對稱的性質求得∠QPA=∠BCO=45°，∠APD=90°，從而得到點D的坐標（x，x+3），然后根據點D在拋物線上列方程求解；

（3）①存在2種情況，一種是點D在BC的左側，另一種是點D在BC的右側，利用三角形相似與面積的關系可求得；

②分當∠QBD=90°和∠QDB=90°兩種情況，結合勾股定理及平行線分線段成比例定理求解AP的長，從而求x的值．

解：（1）在y＝x+4中，令x=0則y=4，令y=0則x=-3

∴A（-3，0），B（0，4）

∵拋物線y＝﹣x2+bx+c經過A，B兩點

∴

解得

∴拋物線的解析式為y＝﹣x2+x+4

（2）設點P的坐標（x，0）

令y＝﹣x2+x+4=0

解得，

所以C（4，0）

∴OB=OC=4

∴∠BCO=45°

又∵ PQ∥BC且點A關于PQ的對稱點為D，

∴∠QPA=∠DPQ=∠BCO=45°

∴∠APD=90°

又∵A（-3，0）

∴點D的坐標（x，x+3）,

由題意點D在拋物線上

∴x+3=﹣x2+x+4

解得

∵P與A，C不重合

∴點P的坐標（1，0）．

①當點D剛好在BC上時

∵B(0，4)，C(4，0)

∴直線BC的解析式為：y=-x+4

當點D剛好在BC上時，則D(x，-x+4)

∵PD=AP

∴-x+4=3+x，解得：x=

情況一：當點D在直線BC的左側時，即當時，圖形如下：

則

∵A(-3，0)，B(0，4)，C(4，0)

∴

∵QP∥BC

∴∠AQP=∠ABC

∵∠QAP=∠BAC

∴△AQP∽△ABC

∴

解得：，即

情況二：當點D在直線BC的右側時，即當時，圖形如下，QD交BC于點F，DP交BC于點E：

則

已求出

∵∠BCO=45°，∴∠QPA=∠QPD=45°

∴∠APD=90°，即DP⊥x軸

∴△PEC是等腰直角三角形

∴PE=PC=4-x

∵AP=x+3，∴PD=x+3

∴ED=DP-PE=2x-1

同理可知，∽△ABC

∴

解得：

∴-()=

即：

綜上得：當時，，

當時，

②如圖，連接AD，由對稱性可知AD⊥PQ

∴點D必在過點A作BC的垂線上，設垂足為E

∴PQ∥BC

當∠QBD=90°時，

∴

，即

解得：，則AF=

∴

∴，即

解得：

∴

當∠BDQ=90°時，由上可知：，

∴根據勾股定理可得

如圖，若PQ=5，QN=，

設QM=MP=a，則

∴由勾股定理可得

解得：

∴

即

∴，，

解得

∴

綜上所述，x的值為或．