Question

如圖，邊長為4的等邊三角形ABC內接于⊙O，直線EF經過邊AC，BC的中點，交⊙O于D、G兩點．
（1）求證：△CED≌△CFG；
（2）設ED=a，EB=b，問：在線段EF上是否存在點M，EM的長m能使

x=a y=b

是方程組

2( 5 +1)x-3 3 y=m2+p-8 ( 5 +1)x- 2 3 3 y=m-2p

的解？若存在，求二次函數y=px2-2px+

p+pm

m

的最大值或最小值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）本題可以從角邊角證明兩三角形全等，即∠DEC=∠GFC，∠DCA=∠BCG，CE=CF；
（2）將x、y代入方程組消去p得到關于m的二次方程，用根的判別式判斷是否存在M點．

解答：（1）證明：∵E、F為AC、BC的中點，
∴EF為△ABC的中位線．
EF∥AB，∠CEF=∠CFE即∠DEC=∠GFC，弧AD=弧BG，∠DCA=∠BCG，
又△ABC為等邊三角形，AC=BC則CE=CF，
∴△CED≌△CFG．

（2）解：將

x=a y=b

代入

2( 5 +1)x-3 3 y=m2+p-8 ( 5 +1)x- 2 3 3 y=m-2p

消去p得：
2m2+m-16-5(

5

+1)a+

20 3

3

b=0，
△=1-4×2×[-16-5(

5

+1)a+

20 3

3

b]，
∵△ABC邊長為4，EB=b=2

3

，
△=1-8×[24-5(

5

+1)a]，
∴令△≥0，則解得a不符合題意．
∴不存在M點．

點評：本題考查了幾何與函數結合的題型，考查了幾何的性質及二次函數的最值．