Question

在△ABC中，∠A、∠B、∠C所對的邊分別用a、b、c表示．
（1）如圖，在△ABC中，∠A=2∠B，且∠A=60度．求證：a²=b（b+c）．

（2）如果一個三角形的一個內角等于另一個內角的2倍，我們稱這樣的三角形為“倍角三角形”．第一問中的三角形是一個特殊的倍角三角形，那么對于任意的倍角三角形ABC，其中∠A=2∠B，關系式a²=b（b+c）是否仍然成立？并證明你的結論．

（3）試求出一個倍角三角形的三條邊的長，使這三條邊長恰為三個連續的正整數．

Answer 1

（1）證明：∵∠A=2∠B，∠A=60°
∴∠B=30°，∠C=90°
∴c=2b，a=b
∴a²=3b²=b（b+c）

（2）解：關系式a²=b（b+c）仍然成立．
法一：證明：∵∠A=2∠B
∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-3∠B
由正弦定理得
即a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC
∴b（b+c）=2RsinB（2RsinB+2RsinC）
=4R²sinB[sinB+sin（180°-3∠B）]
=4R²sinB（sinB+sin3∠B）
=4R²sinB（2sin2BcosB）
=4R²sin2B×sin2B
=4R²sin²2B
又∵a²=4R²sin²A=4R²sin²2B
∴a²=b（b+c）

（3）解：若△ABC是倍角三角形，由∠A=2∠B，應有a²=b（b+c），且a＞b．
當a＞c＞b時，設a=n+1，c=n，b=n-1，（n為大于1的正整數）
代入a²=b（b+c），得（n+1）²=（n-1）•（2n-1），解得n=5，
有a=6，b=4，c=5，可以證明這個三角形中，∠A=2∠B
當c＞a＞b及a＞b＞c時，
均不存在三條邊長恰為三個連續正整數的倍角三角形．
邊長為4，5，6的三角形為所求．
分析：（1）根據已知可求得各角的度數，再根據三角函數求得各邊的關系，從而不難得到結論．
（2）根據已知表示各角的度數，再根據正弦定理對式子進行整理，從而得到結論；
（3）注意分三種情況進行分析．
點評：此題主要考查了直角三角形的判定，勾股定理及正弦定理等知識點的綜合運用．