Question

【題目】如圖，拋物線y= x2+bx+c與y軸交于點C（0，﹣4），與x軸交于點A、B，且B點的坐標為（2，0）．

（1）求拋物線的解析式；
（2）若點P是AB上的一個動點，過點P作PE∥AC交BC于點E，連接CP，求△PCE面積最大時P點的坐標；
（3）在（2）的條件下，若點D為OA的中點，點M是線段AC上一點，當△OMD為等腰三角形時，連接MP、ME，把△MPE沿著PE翻折，點M的對應點為點N，直接寫出點N的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）

解：根據題意得：

，

解得： ，

所以該拋物線的解析式為：y= x2+x﹣4；

（2）

解：令y=0，即 x2+x﹣4=0，解得x1=﹣4，x2=2，

∴A（﹣4，0），S△ABC= ABOC=12

設P點坐標為（x，0），則PB=2﹣x．

∵PE∥BC，

∴∠BPE=∠BAC，∠BEP=∠BCA，

∴△PBE∽△BAC，

∴ =（ ）2，即 =（ ）2，

化簡得：S△PBE= （2﹣x）2．

S△PCE=S△PCB﹣S△PBE= PBOC﹣S△PBE= ×（2﹣x）×4﹣ （2﹣x）2

=﹣ x2﹣ x+ =﹣ （x+1）2+3

∴當x=﹣1時，S△PCE的最大值為3．

（3）

解：由（2）已知A（﹣4，0），

∵點D為0A中點，

∴D（﹣2，0），

設直線AC的解析式為y=mx+n，

把A（﹣4，0）、C（0，﹣4）分別代入得：

，解得 ，

∴直線AC的解析式為y=﹣x﹣4．

∵PE∥AC，所以可設直線PE的解析式為y=﹣x+a，

將P（﹣1，0）代入y=﹣x﹣a得a=﹣1，

所以直線PE的解析式為y=﹣x﹣1．

設直線BC的解析式為y=kx+a′，

將B（2，0）、C（0，﹣4）代入y=kx+a′得 ，

解得k=2，a′=﹣4．

所以直線BC的解析式為y=2x﹣4．

由2x﹣4=﹣x﹣1得x=1，將x=1代入y=2x﹣4得y=﹣2，

∴E點坐標為（1，﹣2）．

①當MD=OD時，如圖1：

∵AD=MD=AD，OA=OC，∠DAM=∠OAC，

∴△ADM∽△AOC，

∴∠ADM=∠AOC=90°，即DM⊥x軸，

<>∴M的橫坐標為﹣2，將x=﹣2代入y=﹣x﹣4，得y=﹣2．

所以此時M的坐標為（﹣2，﹣2）；

∵M和E點縱坐標相等，

∴ME∥x軸，

∴∠PEM=45°．

由翻折得∠ENM=2∠PEM=90°，即NE∥y軸，

∴EN=ME=3，

∵E（1，﹣2），

∴N（1，1）．

②當DM=OM時，過點M作MG⊥x軸交于點，如圖2：

易知DG=OG=1，即G點與P點重合，M的橫坐標為﹣1，

將x=﹣1代入y=﹣x﹣4，得y=﹣3．

∴M（﹣1，﹣3）．

∵ME= = ，EB= = ，

∴ME=EB，

∵PB=3，PM=3，即PB=PM，

又∵PE=PE，

∴△BPE≌△MPE，

∴∠BEP=∠MEP，

∴點N與點B重合，

∴N（2，0）；

③當OD=OM時，

設點O到AC的最短距離為h，則OAOC=hAC

∵AC= = =4 ，

∴h= =2 ，

∵h＞OD，

∴OD≠OM．此時等腰△OMD不存在．

綜上所述，N點的坐標分別為（1，1）或（2，0）．

【解析】（1）把B點和C點坐標分別代入y= x2+bx+c得到關于b、c的方程組，然后解方程組求出b、c即可得到拋物線解析式；（2）首先求出△PCE面積的表達式，然后利用二次函數的性質求出其最大值；（3）易知D（﹣2，0），接著利用待定系數求出直線AC的解析式為y=﹣x﹣4，再根據直線PE與直線BC的解析式求得點E的坐標為（1，﹣2）．求M點分類討論：①當MD=OD時，求得M的坐標為（﹣2，﹣2）；所以ME∥x軸，則∠PEM=45°，由翻折得∠NEM=90°，所以NE∥y軸，可得N（1，1）；②當DM=OM時，求得M的坐標為（﹣1，﹣3），又可證得△MPE≌△BPE，所以N與B重合，N點坐標為（2，0）；③OD=OM時，等腰△OMD不存在．
【考點精析】本題主要考查了相似三角形的應用的相關知識點，需要掌握測高：測量不能到達頂部的物體的高度，通常用“在同一時刻物高與影長成比例”的原理解決；測距：測量不能到達兩點間的舉例，常構造相似三角形求解才能正確解答此題．