Question

如圖，A、B表示兩個村莊，直線X表示高速公路，已知AB=50km,A、B到直線X的距離分別為10km和40km,要在高速公路旁修建一出口P.小民設計了兩種方案，圖（1）是方案一的示意圖(AP與直線X垂直，垂足為P),P到A、B的距離之和S₁=PA+PB；  圖（2）是方案二的示意圖(點A關于直線X的對稱點是A'，連接BA'交直線X于點P),P到A、B的距離之和S₂=PA+PB.  

(1)求S₁ 、S₂ ,并比較它們的大小.
(2)請你說明S₂=PA+PB的值為最小.
(3)擬建的另一高速公路Y與高速公路X垂直，建立如圖所示的直角坐標系，B到直線Y的距離為30km,請你在X旁和Y旁各修建一出口P、Q,使P、A、B、Q 組成的四邊形的周長最小.并求出這個最小值.

Answer 1

（1）﹥(2) S₂=BA'為最小(3) 四邊形的周長為

試題分析：解:⑴圖10（1）中過B作BC⊥AP,垂足為C,則PC=40,又AP="10,"
∴AC=30             
在Rt△ABC 中，AB="50" AC=30  ∴BC=40 
∴ BP=
S₁=         
圖10（2）中，過B作BC⊥AA′垂足為C，則A′C=50，

又BC=40
∴BA'=
由軸對稱知：PA=PA'
∴S₂=BA'=            
∴﹥                   
(2)如 圖10（2），在公路上任找一點M,連接MA,MB,MA'，由軸對稱知MA=MA'
∴MB+MA=MB+MA'﹥A'B
∴S₂=BA'為最小        
（3）過A作關于X軸的對稱點A', 過B作關于Y軸的對稱點B'，
連接A'B',交X軸于點P, 交Y軸于點Q,則P,Q即為所求
過A'、 B'分別作X軸、Y軸的平行線交于點G,
A'B'=
∴所求四邊形的周長為
點評：本題難度中等，主要考查學生學習了三角形即多邊形等幾何知識后綜合運用能力。作輔助線分析是這類題型的解題關鍵。注意數形結合思想的培養，運用到考試中。