Question

【題目】如圖，BF為⊙O的直徑，直線AC交⊙O于A，B兩點，點D在⊙O上，BD平分∠OBC，DE⊥AC于點E．

（1）求證：直線DE是⊙O的切線；

（2）若 BF=10，sin∠BDE=，求DE的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）4.

【解析】

試題分析：（1）先連接OD，根據∠ODB=∠DBE，即可得到OD∥AC，再根據DE⊥AC，可得OD⊥DE，進而得出直線DE是⊙O的切線；

（2）先連接DF，根據題意得到∠F=∠BDE，在Rt△BDF中，根據=sinF=sin∠BDE=，可得BD=2，在Rt△BDE中，根據sin∠BDE==，可得BE=2，最后依據勾股定理即可得到DE的長．

試題解析：（1）如圖所示，連接OD，

∵OD=OB，∴∠ODB=∠OBD，

∵BD平分∠OBC，∴∠OBD=∠DBE，∴∠ODB=∠DBE，∴OD∥AC，

∵DE⊥AC，∴OD⊥DE，

∵OD是⊙O的半徑，∴直線DE是⊙O的切線；

（2）如圖，連接DF，

∵BF是⊙O的直徑，∴∠FDB=90°，∴∠F+∠OBD=90°，

∵∠OBD=∠DBE，∠BDE+∠DBE=90°，∴∠F=∠BDE，

在Rt△BDF中，=sinF=sin∠BDE=，∴BD=10×=2，

∴在Rt△BDE中，sin∠BDE==，∴BE=2×=2，

∴在Rt△BDE中，DE==4．