Question

【題目】如圖，△ABC是等邊三角形，CE是∠ACB的外角平分線，點D在AC上，連接BD并延長交CE于點E.

(1)求證：△ABD∽△CED；

(2)若AB＝6，AD＝2CD，求BE的長．

Answer 1

【答案】(1)詳見解析；（2）3.

【解析】試題分析：（1）根據等邊三角形的性質可得∠BAC＝∠ACB＝60°，∠ACF＝120°，再根據角平分線的性質可得∠ACE＝60°，再結合對頂角∠ADB＝∠CDE，即可證得結果；

（2）作BM⊥AC于點M，根據等邊三角形的性質可得AM＝CM＝3，BM＝AB·sin60°＝，由AD＝2CD可得CD＝2，AD＝4，MD＝1，在Rt△BDM中，根據勾股定理可求得BD的長，再根據△ABD∽△CED結合相似三角形的性質可求的ED的長，即可求得結果.

（1）∵△ABC是等邊三角形

∴∠BAC＝∠ACB＝60°，∠ACF＝120°

∵CE是外角平分線

∴∠ACE＝60°

∴∠BAC＝∠ACE

又∵∠ADB＝∠CDE

∴△ABD∽△CED；

（2）作BM⊥AC于點M，AC＝AB＝6

∴AM＝CM＝3，BM＝AB·sin60°＝

∵AD＝2CD，

∴CD＝2，AD＝4，MD＝1

在Rt△BDM中，BD＝＝

由（1）△ABD∽△CED得， ， ，

∴ED＝，

∴BE＝BD＋ED＝.