Question

【題目】已知：在平面直角坐標系xOy中，拋物線經過點A（5，0）、B（-3，4），拋物線的對稱軸與x軸相交于點D．

（1）求拋物線的表達式；

（2）聯結OB、BD．求∠BDO的余切值；

（3）如果點P在線段BO的延長線上，且∠PAO =∠BAO，求點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）點P的坐標為（，）.

【解析】

（1）根據點A，B的坐標，利用待定系數法可求出拋物線的表達式；

（2）利用二次函數的性質可得出拋物線的對稱軸，進而可得出點D的坐標，過點B作BC⊥x軸，垂足為點C，由點B，D的坐標可得出CD，BC的長度，結合余切的定義可求出∠BDO的余切值；

（3）設點P的坐標為（m，n），過點P作PQ⊥x軸，垂足為點Q，則PQ＝﹣n，OQ＝m，AQ＝5﹣m，在Rt△ABC中，可求出cot∠∠BAC＝2，結合∠PAO＝∠BAO可得出m﹣2n＝5①，由BC⊥x軸，PQ⊥x軸可得出BC∥PQ，進而可得出4m＝﹣3n②，聯立①②可得出點P的坐標．

解：（1）∵ 拋物線經過點A（5，0）、B（-3，4），

∴

解得

∴ 所求拋物線的表達式為．

（2）由，得拋物線的對稱軸為直線．

∴ 點D（，0）．

過點B作BC⊥x軸，垂足為點C．

由A（5，0）、B（-3，4），得 BC = 4，OC = 3，．

∴ ．

（3）設點P（m，n）．

過點P作PQ⊥x軸，垂足為點Q．則 PQ = -n，OQ = m，AQ = 5 – m．

在Rt△ABC中，∠ACB = 90°，∴ ．

∵ ∠PAO =∠BAO，∴ ．

即得 ． ①

由 BC⊥x軸，PQ⊥x軸，得 ∠BCO =∠PQA = 90°．

∴ BC // PQ．

∴ ，即得 ．∴ 4 m = - 3 n． ②

由 ①、②解得 ，．

∴ 點P的坐標為（，）．