Question

【題目】如圖，∠MON=60°，OF平分∠MON，點A在射線OM上， P，Q是射線ON上的兩動點，點P在點Q的左側，且PQ=OA，作線段OQ的垂直平分線，分別交OM，OF，ON于點D，B，C，連接AB，PB．

（1）依題意補全圖形；

（2）判斷線段 AB，PB之間的數量關系，并證明；

（3）連接AP，設，當P和Q兩點都在射線ON上移動時，是否存在最小值？若存在，請直接寫出的最小值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）補全圖形見解析； （2）AB=PB．證明見解析；（3）存在，．

【解析】

（1）根據題意補全圖形如圖1，
（2）結論：AB=PB．連接BQ，只要證明△AOB≌△PQB即可解決問題；
（3）連接BQ．只要證明△ABP∽△OBQ，即可推出 ，由∠AOB=30°，推出當BA⊥OM時， 的值最小，最小值為 ，由此即可解決問題．

解：（1）如圖1，

（2）AB=PB．

證明：如圖，連接BQ．

∵BC的垂直平分OQ，

∴ OB =BQ，

∴∠BOP=∠BQP．

又∵ OF平分∠MON，

∴∠AOB = ∠BOP．

∴∠AOB = ∠BQP．

又∵PQ=OA，

∴ △AOB≌△PQB，

∴AB=PB．

（3））∵△AOB≌△PQB，
∴∠OAB=∠BPQ，
∵∠OPB+∠BPQ=180°，
∴∠OAB+∠OPB=180°，∠AOP+∠ABP=180°，
∵∠MON=60°，
∴∠ABP=120°，
∵BA=BP，
∴∠BAP=∠BPA=30°，
∵BO=BQ，
∴∠BOQ=∠BQO=30°，
∴△ABP∽△OBQ，
∴，
∵∠AOB=30°，
∴當BA⊥OM時，的值最小，最小值為，
∴k=．