Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑作⊙O，分別交BC，AC于點D，E，過點D作DF⊥AC于點F

（1）求證：DF是⊙O的切線；

（2）若∠C＝60°，⊙O的半徑為2，求由弧DE，線段DF，EF圍成的陰影部分的面積（結果保留根號和π）

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

（1）連接AD、OD，先利用等腰三角形的性質證CD=BD，再證OD為△ABC的中位線得DO∥AC，根據DF⊥AC可得；
（2）連接OE、BE，DE，根據已知條件得到△ABC是等邊三角形，求得DE∥AB，于是得到S△ADE=S△ODE，根據陰影部分面積=S梯形EFDO-S扇形DOE計算可得．

解：（1）如圖，連接AD、OD，

∵AB為⊙O的直徑，

∴AD⊥BC，

∵AB＝AC，

∴BD＝CD，

∵OA＝OB，

∴OD∥AC，

∵DF⊥AC，

∴DF⊥OD，

∴DF是⊙O的切線；

（2）連接OE，BE，DE，

∵AB＝AC，∠C＝60°，

∴△ABC是等邊三角形，

∵AB為⊙O的直徑，

∴BE⊥AC，

∴AE＝CE，

∴DE∥AB，

∴S△ADE＝S△ODE，

∵⊙O的半徑為2，∠BAD＝∠CAD＝30°，

∴AD＝2 ，

∴DF＝AD＝，AF＝3，

∵∠DOE＝2∠DAC＝60°，

∴陰影部分面積為S梯形EFDO﹣S扇形DOE

＝S三角形ADF﹣S扇形DOE＝××3﹣＝﹣ ．

故答案為（1）證明見解析；（2）．