Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線C1：y=a（x- ）2+h分別與x軸、y軸交于點A（1，0）和點B（0，-2），將線段AB繞點A逆時針旋轉90°至AP．

（1）求點P的坐標及拋物線C1的解析式；
（2）將拋物線C1先向左平移2個單位，再向上平移1個單位得到拋物線C2 ， 請你判斷點P是否在拋物線C2上，并說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵A（1，0）和點B（0，-2），

∴OA=1，OB=2，過P作PM⊥x軸于M，

由題意得：AB=AP，∠BAP=90°，

∴∠OAB+∠PAM=∠ABO+∠OAB=90°，

∴∠ABO=∠PAM．

在△ABO于△APM中，

，

∴△ABO≌△APM，

∴AM=OB，PM=OA，

∴P（3，-1），

∵A（1，0）和點B（0，-2）在拋物線C1：y=a（x- ）2+h上，
∴

解得： ，

∴拋物線的解析式

（2）解：∵將拋物線C1先向左平移2個單位，再向上平移1個單位得到拋物線C2，

∴y=- （x- +2）2+ +1，

∴拋物線C2的解析式為：y=- （x- ）2+ ，

當x=3時，y=- （3- ）+ =-1，

∴點P在拋物線C2上．

【解析】（1）由點A和點B的坐標，用待定系數法求出拋物線的解析式，由已知條件得到△ABO≌△APM，得到對應邊相等，求出點P的坐標；（2）根據平移的性質，由頂點式得到拋物線C2的解析式，把P點的坐標代入，得到點P在拋物線C2上．