Question

【題目】如圖，正方形ABCD的邊長是3，BP=CQ，連接AQ，DP 交于點O，并分別與邊CD，BC 交于點F,E，連接AE，下列結論：①AQ⊥DP；②OA2=0EOP；③；④當BP=1時，，其中正確結論的個數是（ ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

Answer 1

【答案】B

【解析】由四邊形ABCD是正方形，得到AD=BC，∠DAB=∠ABC=90°，繼而可證明△DAP≌△ABQ，根據全等三角形的性質得到∠P=∠Q，根據余角的性質得到AQ⊥DP；故①正確；證明△DAO∽△APO，根據相似三角形的性質得到AO2=ODOP，由OD≠OE，得到OA2≠OEOP；故②錯誤；根據全等三角形的性質得到CF=BE，DF=CE，于是得到S△ADF-S△DFO=S△DCE-S△DOF，即S△AOD=S四邊形OECF；故③正確；根據相似三角形的性質得到BE=，求得QE=，QO=，OE=，由三角函數的定義即可得到結論．

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AD=BC，∠DAB=∠ABC=90°，

∵BP=CQ，

∴AP=BQ，

在△DAP與△ABQ中，

，

∴△DAP≌△ABQ，

∴∠P=∠Q，

∵∠Q+∠QAB=90°，

∴∠P+∠QAB=90°，

∴∠AOP=90°，

∴AQ⊥DP，故①正確；

∵∠DOA=∠AOP=90°，∠ADO+∠P=∠ADO+∠DAO=90°，

∴∠DAO=∠P，

∴△DAO∽△APO，

∴，

∴AO2=ODOP，

∵AE＞AB，

∴AE＞AD，

∴OD≠OE，

∴OA2≠OEOP；故②錯誤；

在△CQF與△BPE中，

，

∴△CQF≌△BPE，

∴CF=BE，

∴DF=CE，

在△ADF與△DCE中，

，

∴△ADF≌△DCE，

∴S△ADF-S△DFO=S△DCE-S△DOF，

即S△AOD=S四邊形OECF，故③正確；

∵BP=1，AB=3，

∴AP=4，

∵△PBE∽△PAD，

∴，

∴BE=，∴QE=，

∵△QOE∽△PAD，

∴，

∴QO=，OE=，

∴AO=5-QO=，

∴tan∠OAE=，故④錯誤，

故選B．