Question

【題目】對于平面直角坐標(biāo)系中的點和圖形，給出如下定義：若圖形上存在兩個點，使得是邊長為2的等邊三角形，則稱點是圖形的一個“和諧點”．

已知直線與軸交于點，與軸交于點的半徑為．

（1）若，在點中，直線的和諧點是___________；

（2）若上恰好存在2個直線的和諧點，求的取值范圍；

（3）若，線段上存在的和諧點，直接寫出的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）結(jié)合定義，畫圖可知，當(dāng)直線上的兩點O，S與或S，T與構(gòu)成等邊三角形，直線的和諧點是；

（2）由等邊三角形的特征及直線，結(jié)合圖形及對稱性數(shù)形結(jié)合即可求解；

（3）結(jié)合圖形構(gòu)造等邊三角形知：分或，而為定值，故關(guān)鍵求的取值范圍即可，進(jìn)一步畫圖可知當(dāng)時，最小，當(dāng)的和諧點恰好是點（即點與點重合）時，最大，分別計算即可得到的取值范圍

解：（1）直線的和諧點是； 如圖所示：

（2）如圖，設(shè)在直線上，點在上，是邊長為2的等邊三角形，

，∴當(dāng)直線位于時，上只有1個點是直線的和諧點，

當(dāng)直線位于時，上有3個點都是直線的和諧點，

∴滿足條件的直線應(yīng)位于直線和之間．

設(shè)過點且與相切的直線為，直線分別與軸，軸交于點．連接，則．取中點，連接，則，且三點共線，．

∵直線與軸交于點，與軸交于點，

，

，

．

∴在和中，

，

，

，

由對稱性得，即，

的取值范圍是．

（3）的取值范圍是．

詳解如下：

．

如圖，設(shè)在上，是上的點，是邊長為2的等邊三角形，

設(shè)的中點為，則三點共線，

，

又（圖1），或（圖2），而為定值，

∴只需考慮的取值范圍即可．

如圖3，當(dāng)時，最小，此時的半徑最小．

，

．

又，

．

∴在中，，

．

如圖4，當(dāng)的和諧點恰好是點（即點與點重合）時，最大，此時的半徑最大，

，

，

又，

．

綜上，的取值范圍是．