Question

【題目】如圖1，內接于,AD是直徑，的平分線交BD于H，交于點C，連接DC并延長，交AB的延長線于點E.

（1）求證：；

（2）若，求的值

（3）如圖2，連接CB并延長，交DA的延長線于點F，若，求的面積.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2） ；（3）

【解析】

（1）根據直徑所對的圓周角是直角可得，然后利用ASA判定△ACD≌△ACE即可推出AE=AD；

（2）連接OC交BD于G，設，根據垂徑定理的推論可得出OC垂直平分BD，進而推出OG為中位線，再判定，利用對應邊成比例即可求出的值；

（3）連接OC交BD于G，由（2）可知：OC∥AB，OG=AB，然后利用ASA判定△BHA≌△GHC，設，則，再判定，利用對應邊成比例求出m的值，進而得到AB和AD的長，再用勾股定理求出BD，可求出△BED的面積，由C為DE的中點可得△BEC為△BED面積的一半，即可得出答案.

（1）證明：∵AD是的直徑

∵AC平分

在△ACD和△ACE中，

∵∠ACD=∠ACE，AC=AC，∠DAC=∠EAC

∴△ACD≌△ACE（ASA）

（2）如圖，連接OC交BD于G，

，設，

則，OC=AD=

∴OC垂直平分BD

又∵O為AD的中點

∴OG為△ABD的中位線

∴OC∥AB，OG=，CG=

（3）如圖，連接OC交BD于G，

由（2）可知：OC∥AB，OG=AB

∴∠BHA=∠GCH

在△BHA和△GHC中，

∵∠BHA=∠GCH，AH=CH，∠BHA=∠GHC

∴

設，則

又，

∴

，

∵AD是的直徑

又