Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AB=8，點D為AB的中點，若直角MDN繞點D旋轉，分別交AC于點E，交BC于點F，則下列說法正確的有（ ） ①AE=CF；②EC+CF=4 ；③DE=DF；④若△ECF的面積為一個定值，則EF的長也是一個定值．

A.①②
B.①③
C.①②③
D.①②③④

Answer 1

【答案】D
【解析】解：①連接CD．
∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，點D為AB的中點，
∴CD⊥AB，CD=AD=DB，
在△ADE與△CDF中，∠A=DCF=45°，AD=CD，∠ADE=∠CDF，
∴△ADE≌△CDF，
∴AE=CF．說法正確；
②∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AB=8，
∴AC=BC=4 ．
由①知AE=CF，
∴EC+CF=EC+AE=AC=4 ．說法正確；
③由①知△ADE≌△CDF，
∴DE=DF．說法正確；
④∵△ECF的面積= ×CE×CF，如果這是一個定值，則CECF是一個定值，
又∵EC+CF=4 ，
∴可唯一確定EC與EF的值，
再由勾股定理知EF的長也是一個定值，說法正確．
故選D．
【考點精析】認真審題，首先需要了解全等三角形的性質(全等三角形的對應邊相等; 全等三角形的對應角相等)，還要掌握勾股定理的概念(直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2)的相關知識才是答題的關鍵．