Question

【題目】如圖，△ABC的邊BC在直線l上，AD是△ABC的高，∠ABC=45°，BC=6cm，AB=2cm．點P從點B出發沿BC方向以1cm/s速度向點C運動，當點P到點C時，停止運動．PQ⊥BC，PQ交AB或AC于點Q，以PQ為一邊向右側作矩形PQRS，PS=2PQ．矩形PQRS與△ABC的重疊部分的面積為S（cm2），點P的運動時間為t（s）．回答下列問題：

（1）AD= cm；

（2）當點R在邊AC上時，求t的值；

（3）求S與t之間的函數關系式．

Answer 1

【答案】（1）2；（2）；（3）①當0＜t≤時，S= 2t2．②當＜t＜2時，S=-t2+15t-9．

③當2≤t＜6時，S=t2-3t+9．

【解析】

試題分析：（1）由AD是△ABC的高，∠ABC=45°，可得AD=BD，再由AB=2cm，即可得出AD的長；

（2）根據QR∥BC，可證明△AQR∽△ABC，從而得出，即，解得t即可；

（3）分三段進行討論：

①當0＜t≤時（圖1），根據∠B=45°，∠BPQ=90°，即可得出∠BQP=45°，則PQ=BP=t，從而得出S與t之間的函數關系式；

②當＜t＜2時（圖2），根據∠BAD=45°，則BD=AD=2cm，從而得出CD，即可證明△FSC∽△ADC，得比例式，則SF=3-t，再求得FR，由ER∥SC，得∠REF=∠C，即可證明△ERF∽△CDA，則，ER=5t-6，從而得出S與t之間的函數關系式；

③當2≤t＜6時（圖3），根據PQ∥AD，得△ERF∽△CDA，則，即，得出QP=3-t，從而得出S與t之間的函數關系式．

試題解析：（1）∵AD是△ABC的高，

∴∠ADB=90°，

∵∠ABC=45°，

∴AD=BD，

∵AB=2cm，

∴AD=2cm，

（2）∵QR∥BC，

∴△AQR∽△ABC，

∴，即，

解得，t=；

（3）①當0＜t≤時（圖1），∠B=45°，∠BPQ=90°，

∴∠BQP=90°-45°=45°

∴PQ=BP=t

∴S=S矩形PQRS=2tt=2t2．

②當＜t＜2時（圖2）∠BAD=90°-45°=45°

BD=AD=2cm

CD=6-2=4cm．

SF∥AD

∴△FSC∽△ADC

∴，即，

SF=3-t，

∴FR=t-（3-t）=-3，

∵ER∥SC，

∴∠REF=∠C

又∠REF=∠ADC=90°

∴△ERF∽△CDA

∴，

即，

ER=5t-6，

∴S=S矩形PQRS-S△ERF=2t2-（5t-6）（t-3）

=-t2+15t-9．

③當2≤t＜6時（圖3）

∵PQ∥AD

∴△ERF∽△CDA，

∴，

即，

∴QP=3-t

∴S=S△QPC=（3-t）（6-t）

=t2-3t+9．