Question

【題目】綜合與實踐

問題情境

綜合與實踐課上，老師讓同學們以“折紙”為主題開展數學活動．如圖1，有一張長為4，寬為3的矩形紙片（）．

操作發現

（1）快樂小組先將圖1中的矩形紙片沿直線折疊，使得點落在點處，得到圖2，他們發現，請你證明這個結論；

（2）創新小組將圖2中的矩形紙片展開后繼續折疊，使得點落在對角線上的點處，折痕為，得到圖3，則折痕__________；

實踐探究

（3）前進小組在創新小組的操作基礎上，將圖3中的紙片展開，再將矩形紙片沿直線折疊，使得點落在對角線上的點處，然后將紙片展平．如圖4所示，折痕交于點，交于點，試判斷的形狀并證明你的結論．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）為等腰三角形，理由見解析．

【解析】

（1）利用矩形和折疊的性質分別得到，，，，然后根據AAS定理證明，從而求證；

（2）根據勾股定理求得BD的長，設AF=FG=x，然后利用折疊的性質及勾股定理列方程求出AF的值，最后再利用勾股定理求BF；

（3）利用折疊的性質得到垂直平分，從而得到及，然后利用等角對等邊判定三角形的形狀．

解：（1）如圖2，四邊形為矩形，

，，

由折疊得，，

，

在和中，

，

；

（2）如圖3，由題意可知：AB=BG=3，AD=4，∠A=∠FGB=90°

∴BD=

∴DG=BD-BG=5-3=2

設AF=FG=x，則DF=4-x

在Rt△FGD中，

解得：

在Rt△ABF中，

故答案為：；

（3）如圖4，為等腰三角形．

理由如下：

折疊得到，

垂直平分，

．

又，

，

．

又折疊得到，

，

，

，

為等腰三角形．