Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，點M是BC的中點，點P從點M出發沿MB以每秒1個單位的速度向點B勻速運動，到達點B后立刻以原速度沿BM返回；同時點Q從點M出發以每秒1個單位長的速度在射線MC上勻速運動，在點P，Q的運動過程中，以PQ為邊作正方形PQEF，使它與矩形ABCD在BC的同側，點P，Q同時出發，當點P返回點M時，則兩點停止運動，設點P，Q運動的時間是t秒（t＞0）．

（1）當點P運動到BM的中點時，t=　 　；

（2）設正方形PQEF與矩形ABCD重疊部分的面積為S，直接寫出S與t之間的函數關系式及t的取值范圍；

（3）連結AC，當正方形PQEF與△ADC重疊部分為三角形時，求t的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）1或3；（2）①S=4t2；②S=6t；③S=﹣3t+18；（3）＜t≤或t=2

【解析】分析：（1）求出BM=BC=2，當點P第一次運動到BM的中點時，PM=BM=1，得出t=1；當點P第二次運動到BM的中點時，運動的路程=3，得出t=3即可；
（2）分為三種情況：①當0<t≤1.5時，PQ=2t，由正方形面積公式即可得出答案；
②當1.5<t≤2時得出PQ=2t，AB=3，由矩形面積即可得出答案；
③當2<t≤4時，求出PC=6-t，AB=3，由矩形面積即可得出答案；
（3）當點E在AC上時，得出△CEQ∽△CAB，得出對應邊成比例，即可得出t的值；當F在AC上時，△CPF∽△CBA，得出對應邊成比例，即可得出t的值；當點F在EA的延長線上時，點E在CD的延長線上，此時t=2；即可得出答案．

詳解：（1）∵BC=4，點M是BC的中點，

∴BM=BC=2，

當點P第一次運動到BM的中點時，PM=BM=1，

∴t=1；

當點P第二次運動到BM的中點時，運動的路程=2+1=3，

∴t=3；

故答案為：1或3；

（2）分為三種情況：

①如圖1，當0＜t≤1.5時，

∵PQ=2t，

∴S=（2t）2，

∴S=4t2；

②如圖2，

當1.5＜t≤2時，

∵PQ=2t，AB=3，

∴S=6t；

③如圖3，

當2＜t≤4時，

∵PC=6﹣t，AB=3，

∴S=﹣3t+18；

（3）如圖4，

當點E在AC上時，

∵△CEQ∽△CAB，

∴，

∴，

∴t=，

當F在AC上時，

∵△CPF∽△CBA，

∴，

∴，

∴t=；當點F在EA的延長線上時，點E在CD的延長線上，此時t=2；

∴t的取值范圍是＜t≤或t=2．