Question

設直線kx+（k+1）y-1=0（k為正整數）與坐標軸所構成的直角三角形的面積為S_k（k=1，2，3，4，…，2009），請寫出S_k=

 

；則S₁+S₂+S₃+S₄+…+S₂₀₀₈+S₂₀₀₉=

 

．

Answer 1

分析：由于直線kx+（k+1）y-1=0（k為正整數），可以分別確定直線與坐標軸的兩個交點坐標，然后利用坐標即可確定與坐標軸所構成的直角三角形的面積，然后根據面積即可求出S₁+S₂+S₃+S₄+…+S₂₀₀₈+S₂₀₀₉的值．

解答：解：∵直線kx+（k+1）y-1=0（k為正整數），
當x=0時，y=

1

k+1

，
當y=0時，x=

1

k

，
∴直線kx+（k+1）y-1=0（k為正整數）與坐標軸所構成的直角三角形的面積為S_k=

1

2

•

1

k(k+1)

=

1

2k(k+1)

；
∴S₁+S₂+S₃+S₄+…+S₂₀₀₈+S₂₀₀₉
=

1

2

（

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

2009×2010

）
=

1

2

（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

2009

-

1

2010

）
=

2009

4020

．
故答案為：

1

2k(k+1)

；

2009

4020

．

點評：此題主要考查一次函數與坐標軸所圍成的直角三角形的面積問題，數學根據解析式求出與坐標軸的交點坐標，然后利用坐標表示相關的線段的長度，然后利用三角形的面積即可解決問題．