Question

給出下列命題：
①對于實數u，v，定義一種運算“*“為：u*v=uv+v．若關于x的方程x*（a*x）=-

1

4

沒有實數根，則滿足條件的實數a的取值范圍是0＜a＜1；
②設直線kx+（k+1）y-1=0（k為正整數）與坐標軸所構成的直角三角形的面積為S_k，則S₁+S₂+S₃+…+S₂₀₀₈=

1004

2009

；
③函數y=-

1

x2

+

3

x

的最大值為2；
④甲、乙、丙3位同學選修課程，從4門課程中，甲選修2門，乙、丙各選修3門，則不同的選修方案共有48種．
其中真命題的個數有（　　）

A．1個

B．2個

C．3個

D．4個

Answer 1

分析：①根據新定義整理出一元二次方程，然后根據判別式△＜0，方程沒有實數根列式得到關于a的不等式，求解不等式即可判斷；
②求出直線與坐標軸的交點坐標，再根據直角三角形的面積公式列式得到S_k的表達式，然后利用拆項法整理求解；
③先配方，再根據二次函數的最值問題求解；
④求出每一名同學的可能選修方法的種數，然后相乘即可得解．

解答：解：①根據新定義，x*（a*x）=x*（ax+x），
=x（ax+x）+（ax+x），
=（a+1）x²+（a+1）x，
所以，（a+1）x²+（a+1）x+

1

4

=0，
∵方程沒有實數根，
∴△=（a+1）²-4（a+1）×

1

4

＜0，
即a（a+1）＜0，
解得-1＜a＜0，故本小題錯誤；

②當y=0時，kx-1=0，解得x=

1

k

，
當x=0時，（k+1）y-1=0，解得y=

1

k+1

，
所以，與x軸的交點坐標為（

1

k

，0），與y軸的交點坐標為（0，

1

k+1

），
∵k為正整數，
∴S_k=

1

2

×

1

k

×

1

k+1

=

1

2

1

k(k+1)

=

1

2

（

1

k

-

1

k+1

），
∴S₁+S₂+S₃+…+S₂₀₀₈=

1

2

（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

2008

-

1

2009

），
=

1

2

（1-

1

2009

），
=

1

2

×

2008

2009

，
=

1004

2009

，故本小題正確；

③∵y=-

1

x2

+

3

x

=-（

1

x2

-

3

x

+

9

4

）+

9

4

=-（

1

x

-

3

2

）²+

9

4

，
∴當

1

x

=

3

2

，即x=

2

3

時，函數有最大值

9

4

，故本小題錯誤；

④設4門課程分別為1，2，3，4，甲選修2門，可有1，2；1，3；1，4；2，3；2，4；3，4共6種情況，
同理乙，丙均可有1，2，3；1，2，4；2，3，4；1，3，4共4種情況，
所以，不同的選修方案共有6×4×4=96種，故本小題錯誤；
綜上所述，真命題有②共1個．
故選A．

點評：本題考查了一元二次方程的根的判別式，一次函數圖象上點的坐標特征，二次函數的最值問題，排列組合，綜合性較強，難度較大，對同學們的能力要求比較高．