Question

【題目】如圖所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°．

（1）尺規作圖：作線段AB的垂直平分線l（保留作圖痕跡，不寫作法）；

（2）在已作的圖形中，若l分別交AB、AC及BC的延長線于點D、E、F，連接BE．求證：EF＝2DE．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析。

【解析】

（1）根據垂直平分線的做法即可畫出（2）根據垂直平分線的性質與含30°角的直角三角形的性質即可證明.

解：（1）直線l即為所求．

分別以AB為圓心，以任意長為半徑，兩圓相交于兩點，連接此兩點即可．作圖正確．

（2）證明：在Rt△ABC中，∵∠A＝30°，∠ABC＝60°．

又∵l為線段AB的垂直平分線，

∴EA＝EB，

∴∠EBA＝∠A＝30°，∠AED＝∠BED＝60°，

∴∠EBC＝30°＝∠EBA，∠FEC＝60°．

又∵ED⊥AB，EC⊥BC，

∴ED＝EC．

在Rt△ECF中，∠FEC＝60°，

∴∠EFC＝30°，

∴EF＝2EC，∴EF＝2ED．