Question

已知，在平面直角坐標系中，A（a，0）、B（0，b），a、b滿足 +|a?3 |＝0．C為AB的中點，P是線段AB上一動點，D是x軸正半軸上一點，且PO=PD，DE⊥AB于E．
（1）求∠OAB的度數；
（2）設AB=6，當點P運動時，PE的值是否變化？若變化，說明理由；若不變，請求PE的值；
（3）設AB=6，若∠OPD=45°，求點D的坐標.

Answer 1

(1) 45°；（2）PE的值不變，PE=3；（3）D(?6，0)．

試題分析：（1）根據非負數的性質即可求得a，b的值，從而得到△AOB是等腰直角三角形，據此即可求得；
（2）根據等腰三角形的性質以及三角形的外角的性質可以得到∠POC=∠DPE，即可證得△POC≌△DPE，則OC=PE，OC的長度根據等腰直角三角形的性質可以求得；
（3）利用等腰三角形的性質，以及外角的性質證得∠POC=∠DPE，即可證得△POC≌△DPE，根據全等三角形的對應邊相等，即可求得OD的長，從而求得D的坐標．
試題解析：（1）根據題意得：
，
解得：a=b=，
∴OA=OB，
又∵∠AOB=90°
∴△AOB為等腰直角三角形，
∴∠OAB=45°．
（2）PE的值不變．理由如下：
∵△AOB為等腰直角三角形，且AC=BC，
∴∠AOC=∠BOC=45°    
又∵OC⊥AB于C，
∵PO=PD
∴∠POD=∠PDO
又∵∠POD=45°+∠POC∠PDO=45°+∠DPE，
∴∠POC=∠DPE    
在△POC和△DPE中，

∴△POC≌△DPE，
∴OC=PE 
又OC=AB=3
∴PE=3；
（3）∵OP=PD，
∴∠POD=∠PDO=，
則∠PDA=180°-∠PDO=180°-67.5°=112.5°，
∵∠POD=∠A+∠APD，
∴∠APD=67.5°-45°=22.5°，
∴∠BPO=180°-∠OPD-∠APD=112.5°，
∴∠PDA=∠BPO
則在△POB和△DPA中，
，
∴△POB≌△DPA．
∴PA=OA=，
∴DA=PB=6-，
∴OD=OA-DA=-（6-）=-6
∴D(?6，0)．