Question

【題目】如圖，在中，AB=AC，AD平分∠BAC交BC于點D，在線段AD上任取一點P（點A除外），過點P作EF∥AB．分別交AC、BC于點E和點F，作PQ∥AC，交AB于點Q，連接QE.

（1）求證：四邊形AEPQ為菱形：

（2）當點P在線段EF上的什么位置時，菱形AEPQ的面積為四邊形EFBQ面積的一半?請說明理

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）P為EF中點時,S菱形AEPQ=12S四邊形EFBQ，理由見解析.

【解析】

（1）先證出四邊形AEPQ為平行四邊形，關鍵是找一組鄰邊相等，由AD平分∠BAC和PE∥AQ可證∠EAP=∠EPA，得出AE=EP，即可得出結論；

（2）S菱形AEPQ=EPh，S平行四邊形EFBQ=EFh，若菱形AEPQ的面積為四邊形EFBQ面積的一半，則EP=EF，因此P為EF中點時，S菱形AEPQ=S四邊形EFBQ．

(1)證明：∵EF∥AB,PQ∥AC，

∴四邊形AEPQ為平行四邊形.

∵AB=AC，AD平分∠CAB，

∴∠CAD=∠BAD，

∵∠BAD=∠EPA，

∴∠CAD=∠EPA，

∴EA=EP，

∴四邊形AEPQ為菱形.

(2)P為EF中點時,S菱形AEPQ=S四邊形EFBQ

∵四邊形AEPQ為菱形，

∴AD⊥EQ，

∵AD⊥BC，

∴EQ∥BC，

又∵EF∥AB，

∴四邊形EFBQ為平行四邊形.

作EN⊥AB于N，如圖所示：

則S菱形AEPQ=EPEN=EFEN=S四邊形EFBQ