Question

【題目】菱形ABCD中，點P為CD上一點，連接BP．

（1）如圖1，若BP⊥CD，菱形ABCD邊長為10，PD＝4，連接AP，求AP的長．

（2）如圖2，連接對角線AC、BD相交于點O，點N為BP的中點，過P作PM⊥AC于M，連接ON、MN．試判斷△MON的形狀，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）2；（2）△OMN是等腰三角形，理由見解析

【解析】

（1）在Rt△BCP中利用勾股定理求出PB，在Rt△ABP中利用勾股定理求出PA即可．

（2）如圖2中，延長PM交BC于E．先證明PD=BE，再利用三角形中位線定理證明MN=BE，ON=PD即可．

（1）如圖1中，∵四邊形ABCD是菱形，

∴AB＝BC＝CD＝AD＝10，AB∥CD

∵PD＝4，

∴PC＝6，

∵PB⊥CD，

∴PB⊥AB，

∴∠CPB＝∠ABP＝90°，

在Rt△PCB中，∵∠CPB＝90°，PC＝6，BC＝10，

∴PB＝＝8，

在Rt△ABP中，∵∠ABP＝90°，AB＝10，PB＝8，

∴PA＝＝＝2．

（2）△OMN是等腰三角形．

理由：如圖2中，延長PM交BC于E．

∵四邊形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，CB＝CD，

∵PE⊥AC，

∴PE∥BD，

∴＝，

∴CP＝CE，

∴PD＝BE，

∵CP＝CE，CM⊥PE，

∴PM＝ME，

∵PN＝NB，

∴MN＝BE，

∵BO＝OD，BN＝NP，

∴ON＝PD，

∴ON＝MN，

∴△OMN是等腰三角形．