Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB＞AC，射線AM平分∠BAC．

（1）設AM交BC于點D，DE⊥AB于點E，DF⊥AC于點F，連接EF．有以下三種“判斷”：
判斷1：AD垂直平分EF．
判斷2：EF垂直平分AD．
判斷3：AD與EF互相垂直平分．
你同意哪個“判斷”？簡述理由；
（2）若射線AM上有一點N到△ABC的頂點B，C的距離相等，連接NB，NC．
①請指出△NBC的形狀，并說明理由；
②當AB=11，AC=7時，求四邊形ABNC的面積．

Answer 1

【答案】
（1）

解：如圖，判斷3正確．理由如下：

∵∠BAC=90°，DE⊥ABDF⊥AC，

∴DE=DF，∴∠AED=∠AFD=∠EAF=90°，

∴四邊形AEDF是矩形，∵DE=DF，

∴四邊形AEDF是正方形，

∴AD與EF互相垂直平分．

故判斷3正確

（2）

解：①結論：△BCN是等腰直角三角形．理由如下：

如圖作NE⊥AB于E，F(xiàn)N⊥AC于F．

∵MA是∠BAC的平分線，

∴NE=NF，

在Rt△NEB和Rt△NFC中，

，

∴△NEB≌△NFC，

∴BE=CF，∠BNE=∠CNF，

易知四邊形AENF是正方形，

∴AE=AF，∠BNC=∠ENF=90°，

∴△BNC是等腰直角三角形．

②∵AB+AC=（AE+BE）+（AF﹣CF）=2AE=18，

∴AE=AF=9，

∵△NEB≌△NFC，

∴S△NEB=S△NFC，

∴S四邊形ABNC=S正方形AENF=92=81

【解析】（1）結論：判斷3正確．只要證明四邊形AEDF是正方形即可解決問題．（2）①△BCN是等腰直角三角形．如圖作NE⊥AB于E，F(xiàn)N⊥AC于F．只要證明△NEB≌△NFC，四邊形AENF是正方形即可解決問題．②由△NEB≌△NFC，推出S△NEB=S△NFC ， 推出S四邊形ABNC=S正方形AENF ， 由此即可解決問題．