Question

【題目】用三角形和六邊形按如圖所示的規律拼圖案．

(1)第4個圖案中，三角形的個數有________個，六邊形的個數有________個；

(2)第n(n為正整數)個圖案中，三角形的個數與六邊形的個數各有多少個？

(3)第2017個圖案中，三角形的個數與六邊形的個數各有多少個？

(4)是否存在某個符合上述規律的圖案，其中有100個三角形與30個六邊形？如果有，指出是第幾個圖案；如果沒有，說明理由．

Answer 1

【答案】(1)10，4；

(2)三角形的個數為 (2n＋2)個，六邊形的個數為n；

(3)三角形的個數為4036個，六邊形的個數為2017個；

(4)不存在．理由見解析．

【解析】試題分析：觀察圖案可知：第一個圖案有正三角形4個為2×2．第二圖案比第一個圖案多2個為2×2+2=6個，第三個圖案比第二個多2個為2×3+2=8個，那么第n個就有正三角形（2n+2）個；第一個圖案有一個正六邊形，第二個圖案有2個正六邊形，依此類推可知第n個圖形有n個正六邊形，據此即可解答.

試題解析：(1)10，4；

(2)觀察發現，第1個圖案中有4個三角形與1個六邊形，以后每個圖案都比它前一個圖案增加2個三角形與1個六邊形，則第n個圖案中三角形的個數為4＋2(n－1)＝(2n＋2)個，六邊形的個數為n；

(3)第2017個圖案中，三角形的個數為2×2017＋2＝4036(個)，六邊形的個數為2017個；

(4)不存在．理由如下：假設存在這樣的一個圖案，其中有30個六邊形，則這個圖案是第30個圖案，而第30個圖案中三角形的個數為2×30＋2＝62≠100，所以這樣的圖案不存在．